Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$\{\begin{matrix}a{x}^{2}+a{y}^{2}+2ax+(a+2)y+1=0, \\ xy+1=x+y\end{matrix}$
имеет ровно четыре различных решения.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $a\in(-\frac2{\sqrt{11}};-\frac35)\cup(-\frac35;0)$.
Решение
Ищем четыре разных решения. Второе уравнение приводим к произведению:
$$xy-x-y+1=0,\qquad x(y-1)-(y-1)=(x-1)(y-1)=0.$$
Следовательно, решения лежат на $x=1$ или $y=1$. Подстановка первой прямой:
$$a+ay^2+2a+(a+2)y+1=0,$$
$$ay^2+(a+2)y+3a+1=0.$$
Подстановка второй:
$$ax^2+a+2ax+(a+2)+1=0,$$
$$ax^2+2ax+2a+3=0.$$
При $a=0$ обе зависимости линейные и каждая даёт максимум одну точку; четырёх точек не будет. При $a
e0$ для двух точек на каждой прямой нужны положительные дискриминанты. Первый:
$$D_1=(a+2)^2-4a(3a+1)$$
$$D_1=a^2+4a+4-12a^2-4a=4-11a^2.$$
Второй:
$$D_2=(2a)^2-4a(2a+3)=4a^2-8a^2-12a=-4a(a+3).$$
Условия:
$$4-11a^2>0\ \Longleftrightarrow\ -\frac2{\sqrt{11}}<a<\frac2{\sqrt{11}},$$
$$-4a(a+3)>0\ \Longleftrightarrow\ a(a+3)<0\ \Longleftrightarrow\ -3<a<0.$$
Пересечение даёт $-2/\sqrt{11}<a<0$. Теперь проверим общую точку прямых $(1;1)$:
$$a+a+2a+(a+2)+1=5a+3,$$
$$5a+3=0\ \Longrightarrow\ a=-\frac35.$$
Это значение внутри найденного интервала: $3/5<2/\sqrt{11}$, поскольку после возведения в квадрат $9/25<4/11$, то есть $99<100$. При нём точка считается дважды, решений три. В остальных случаях две точки на одной прямой и две на другой различны. Ответ: $(-2/\sqrt{11};-3/5)\cup(-3/5;0)$.