ФИПИ EE054F — Системы и совокупности уравнений с параметром

Нужно четыре пары $(x;y)$. Введём $v=x^2\ge0$ и $k=|2a-4|\ge0$. Второе уравнение даёт $y=k-v$. Подставим это в первое: $$v^2+(k-v)^2=a^2,$$ $$v^2+k^2-2kv+v^2-a^2=0,$$ $$2v^2-2kv+k^2-a^2=0.$$ Каждый положительный корень $v$ даёт два $x=\pm\sqrt v$ и единственное $y=k-v$. Нулевой $v$ даёт только одну пару. Поэтому четыре пары возможны ровно при двух разных положительных корнях $v$. Два разных действительных корня требуют положительного дискриминанта: $$D=(-2k)^2-4\cdot2(k^2-a^2)=4k^2-8k^2+8a^2=4(2a^2-k^2)>0.$$ По теореме Виета сумма корней и их произведение равны: $$v_1+v_2=\frac{2k}2=k,\qquad v_1v_2=\frac{k^2-a^2}2.$$ Положительное произведение означает одинаковые знаки; положительная сумма делает оба знака положительными. Значит, нужны: $$k>0,\qquad k^2>a^2,\qquad k^2<2a^2.$$ Последние два строгих условия уже гарантируют $k>0$. Подставляем $k^2=(2a-4)^2$ в первое из них: $$(2a-4)^2>a^2\ \Longleftrightarrow 4a^2-16a+16-a^2>0,$$ $$3a^2-16a+16>0.$$ Выделим множители группировкой: $$3a^2-12a-4a+16=3a(a-4)-4(a-4)=(3a-4)(a-4).$$ Произведение положительно вне корней $4/3$ и 4: $a<4/3$ или $a>4$. Второе условие: $$(2a-4)^2<2a^2\ \Longleftrightarrow 2a^2-16a+16<0$$ $$a^2-8a+8<0\ \Longleftrightarrow (a-4)^2<8\ \Longleftrightarrow 4-2\sqrt2<a<4+2\sqrt2.$$ Пересекаем ограничения: $$a\in(4-2\sqrt2;4/3)\cup(4;4+2\sqrt2).$$ На границах либо один $v$ обращается в ноль, либо два $v$ сливаются, так что четырёх пар уже нет. Для любого параметра внутри найденных интервалов оба $v>0$ различны, обратная подстановка даёт ровно четыре пары. Это и есть ответ.