ФИПИ 04FEB6 — Системы и совокупности уравнений с параметром

Нужно получить ровно две разные пары $(x;y)$. Второе уравнение выражает $y$ через $x$, поэтому каждому допустимому $x$ отвечает одна пара. Подставим $y=3x+a$ в первое уравнение: $$(x^2-5x-(3x+a)+3)\sqrt{x-(3x+a)+3}=0,$$ Раскроем скобки и соберём слагаемые: $$(x^2-8x-a+3)\sqrt{-2x-a+3}=0.$$ Корень определён при неотрицательном подкоренном выражении: $$-2x-a+3\ge0\ \Longleftrightarrow\ -2x\ge a-3\ \Longleftrightarrow\ x\le\frac{3-a}{2}=L.$$ При делении на отрицательное число знак неравенства поменялся. В допустимой области произведение равно нулю, если нулевой хотя бы один множитель. Сам квадратный корень равен нулю при $x=L$; это один корень при любом $a$. Теперь найдём корни другого множителя. Для выделения полного квадрата прибавим и вычтем 16: $$x^2-8x-a+3=(x^2-8x+16)-a-13=(x-4)^2-a-13.$$ $$(x-4)^2=a+13.$$ Если $a<-13$, правая часть отрицательна и дополнительных корней нет: остаётся только $L$. Если $a\ge-13$, введём $u=\sqrt{a+13}\ge0$. Тогда: $$a=u^2-13,\quad x_-=4-u,\quad x_+=4+u,$$ $$L=\frac{3-(u^2-13)}2=\frac{16-u^2}2=8-\frac{u^2}2.$$ Кандидат учитывается только при $x\le L$. Для меньшего корня: $$4-u\le8-\frac{u^2}2\ \Longleftrightarrow\ 8-2u\le16-u^2$$ $$u^2-2u-8\le0,\qquad u^2-2u-8=u(u-4)+2(u-4)=(u-4)(u+2).$$ Поскольку $u+2>0$, деление на него сохраняет знак: $u\le4$. Для большего корня: $$4+u\le8-\frac{u^2}2\ \Longleftrightarrow\ u^2+2u-8\le0,$$ $$u^2+2u-8=u(u+4)-2(u+4)=(u-2)(u+4).$$ Здесь $u+4>0$, поэтому требуется $u\le2$. Равенство в этих проверках означает, что кандидат совпал с уже учтённым $L$. Считаем различные корни. При $u=0$ оба $x_\pm=4$, а $L=8$: два корня. При $0<u<2$ оба кандидата допустимы и отличаются от $L$: три корня. При $u=2$ имеем $x_-=2$, $x_+=L=6$: два корня. При $2<u<4$ только $x_-$ дополняет $L$: два корня. При $u=4$ имеем $x_-=L=0$, а $x_+=8$ недопустим: один. При $u>4$ оба кандидата недопустимы: один. Значит, подходит $u=0$ либо $2\le u<4$. Возвращаемся к $a$: $$u=0\ \Longrightarrow\ a=-13;$$ $$2\le\sqrt{a+13}<4\ \Longleftrightarrow\ 4\le a+13<16\ \Longleftrightarrow\ -9\le a<3.$$ Ответ: $\{-13\}\cup[-9;3)$. Каждому найденному $x$ соответствует единственное $y=3x+a$, поэтому число пар совпадает с числом посчитанных корней.