Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений
$\{\begin{matrix}({x}^{2}+{y}^{2}+4x)\cdot \sqrt{2x+y+6}=0, \\ y=ax-2a\end{matrix}$
имеет ровно два различных решения.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $a\in\{-\frac1{\sqrt3};\frac1{\sqrt3}\}\cup[-\frac3{14};\frac12]$.
Решение
Нужно ровно две разные точки. Корень в первом уравнении существует при $2x+y+6\ge0$. Произведение равно нулю, когда либо корень равен нулю, либо первый множитель равен нулю. Поэтому получаем всю граничную прямую и часть окружности:
$$y=-2x-6;\qquad x^2+y^2+4x=0,\quad2x+y+6\ge0.$$
Выделяем квадрат:
$$x^2+4x+y^2=(x+2)^2+y^2-4,\qquad(x+2)^2+y^2=4.$$
Это окружность с центром $(-2;0)$ и радиусом 2, но сохраняем только её часть в указанной полуплоскости. Общие точки с границей получим подстановкой $y=-2x-6$:
$$x^2+(-2x-6)^2+4x=0\ \Longleftrightarrow 5x^2+28x+36=0.$$
Вычислим корни:
$$D=28^2-4\cdot5\cdot36=784-720=64,\qquad x=\frac{-28\pm8}{10}.$$
Получаем $x=-2$ и $x=-18/5$, соответственно $y=-2$ и $y=6/5$. Только в этих двух точках круговая и граничная части могут совпасть.
Вторая прямая имеет вид $y=a(x-2)$. Пересечение с границей:
$$a(x-2)=-2x-6\ \Longleftrightarrow (a+2)x=2a-6.$$
При $a
e-2$ есть одна граничная точка $x=L=(2a-6)/(a+2)$. При $a=-2$ прямые параллельны: равенство превратилось бы в $0=-10$, пересечений нет.
Подставим прямую в окружность:
$$x^2+a^2(x-2)^2+4x=0,$$
$$g(x)=(1+a^2)x^2+(4-4a^2)x+4a^2=0.$$
Старший коэффициент $1+a^2$ всегда положителен. Вычисляем дискриминант:
$$D=(4-4a^2)^2-4(1+a^2)\cdot4a^2$$
$$D=16(1-2a^2+a^4)-16(a^2+a^4)=16(1-3a^2).$$
Поэтому при $|a|>1/\sqrt3$ круговых точек нет, остаётся одна граничная (при $a=-2$ и её нет). Эти параметры не подходят.
Далее $|a|\le1/\sqrt3$, поэтому $a+2>0$. Полуплоскость после подстановки:
$$(a+2)x-2a+6\ge0\ \Longleftrightarrow\ x\ge L.$$
Сравним центр пары корней с границей:
$$m=-\frac{4-4a^2}{2(1+a^2)}=\frac{2(a^2-1)}{1+a^2},$$
$$m-L=\frac{2(a^2-1)(a+2)-(2a-6)(1+a^2)}{(1+a^2)(a+2)}$$
$$=\frac{10a^2-4a+2}{(1+a^2)(a+2)}=\frac{10(a-1/5)^2+8/5}{(1+a^2)(a+2)}>0.$$
Значит, центр всегда на разрешённой стороне. Теперь вычислим многочлен на границе:
$$g(L)=\frac{(1+a^2)(2a-6)^2+(4-4a^2)(2a-6)(a+2)+4a^2(a+2)^2}{(a+2)^2}$$
$$g(L)=\frac{112a^2-32a-12}{(a+2)^2}=\frac{4(28a^2-8a-3)}{(a+2)^2}.$$
Разложим числитель группировкой:
$$28a^2-8a-3=28a^2+6a-14a-3=2a(14a+3)-(14a+3)=(2a-1)(14a+3).$$
Значение отрицательно при $-3/14<a<1/2$. В этом случае граница между двумя корнями, поэтому одна круговая точка разрешена, а вторая нет. Вместе с граничной точкой ровно два решения. На концах $a=-3/14,1/2$ один корень совпадает с границей, другой внутри; различных точек $2+1-1=2$. Эти границы лежат строго между $\pm1/\sqrt3$.
В остальных промежутках при положительном дискриминанте $g(L)>0$. Граница вне корней и левее их центра: обе круговые точки разрешены и отличаются от граничной. Всего три. При $a=\pm1/\sqrt3$ дискриминант нулевой: круговая точка одна и имеет $x=m>L$, то есть не совпадает с граничной. Всего две.
Ответ: $\{-1/\sqrt3;1/\sqrt3\}\cup[-3/14;1/2]$.