Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система
$\{\begin{matrix}{2}^{| x | + 3}+7 \cdot | x |+1=8y+7{x}^{2}+a, \\ {x}^{2}+{y}^{2}=1\end{matrix}$
имеет единственное решение.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $a=1$.
Решение
Нужно единственное решение системы. Оба уравнения содержат $x$ только через $|x|$ или $x^2$. Значит, если существует решение $(x;y)$ с $x
e0$, то существует и другая пара $(-x;y)$. Поэтому единственная пара обязательно имеет $x=0$.
Подставим $x=0$ в окружность и решим:
$$0^2+y^2=1\ \Longrightarrow\ y^2=1\ \Longrightarrow\ y=1\ \text{или}\ y=-1.$$
Первое уравнение в этой точке:
$$2^{|0|+3}+7|0|+1=8y+7\cdot0^2+a,$$
$$2^3+1=8y+a,\qquad9=8y+a.$$
Отсюда кандидаты:
$$y=1:\ a=9-8=1;\qquad y=-1:\ a=9+8=17.$$
Проверим $a=17$. Кроме $(0;-1)$ существуют $(1;0)$ и $(-1;0)$: для них второе уравнение даёт $1+0=1$, а первое:
$$2^{1+3}+7\cdot1+1=16+7+1=24,$$
$$8\cdot0+7\cdot1+17=24.$$
Поэтому $a=17$ не подходит.
Для $a=1$ пара $(0;1)$ подходит. Докажем отсутствие других. Пусть $u=|x|$. Из окружности $0\le u\le1$ и $y\le1$. Выразим параметр из первого уравнения:
$$a=2^{u+3}+7u+1-8y-7u^2$$
$$a=8\cdot2^u+7u(1-u)+1-8y.$$
На указанном отрезке $2^u\ge1$, $u(1-u)\ge0$, $-8y\ge-8$. Следовательно:
$$a\ge8\cdot1+0+1-8=1.$$
При $u>0$ неравенство $2^u>1$ строгое, а остальные оценки сохраняются: тогда $a>1$, что противоречит выбранному $a=1$. Значит, $u=0$, то есть $x=0$, а из $9=8y+1$ следует $y=1$. Ответ: $a=1$.