ФИПИ DA9BFE — Системы и совокупности уравнений с параметром

Нужно четыре различные пары. Чтобы убрать сдвиги, введём $u=x+4$ и $b=a+4$. Тогда $x=u-4$, а $x-a=u-b$. Второе уравнение: $$4|y|=-(x^2+8x)=16-(x+4)^2=16-u^2,$$ $$|y|=4-\frac{u^2}4.$$ Правая часть неотрицательна только при $-4\le u\le4$. Поэтому получаем верхнюю и нижнюю дуги: $$y=4-\frac{u^2}4\qquad\text{или}\qquad y=-4+\frac{u^2}4.$$ Первое уравнение теперь $y=|u-b|-4$. На нижней дуге: $$|u-b|-4=-4+\frac{u^2}4\ \Longrightarrow\|u-b|=\frac{u^2}4,$$ $$b=u+\frac{u^2}4\quad\text{или}\quad b=u-\frac{u^2}4.$$ На верхней дуге: $$|u-b|-4=4-\frac{u^2}4\ \Longrightarrow\|u-b|=8-\frac{u^2}4,$$ $$b=u+8-\frac{u^2}4\quad\text{или}\quad b=u-8+\frac{u^2}4.$$ Все четыре формулы рассматриваем только на $u\in[-4;4]$. При замене $(u;b)$ на $(-u;-b)$ первые две и последние две формулы меняются местами. Число точек поэтому зависит от $|b|$; достаточно $b\ge0$. Выделим квадраты и укажем значения, необходимые для полного подсчёта: $$B_1=u+u^2/4=(u+2)^2/4-1;\quad B_1(-4)=0,\ B_1(-2)=-1,\ B_1(4)=8.$$ Эта функция убывает на $[-4;-2]$ и возрастает на $[-2;4]$. Поэтому каждому $0<b\le8$ она отвечает ровно одним $u$; при $b>8$ корней нет. $$B_2=u-u^2/4=1-(u-2)^2/4;\quad B_2(-4)=-8,\ B_2(2)=1,\ B_2(4)=0.$$ Она возрастает до $u=2$, затем убывает. Поэтому при $0<b<1$ даёт два корня, при $b=1$ один, при $b>1$ ни одного. $$T_1=u+8-u^2/4=9-(u-2)^2/4;\quad T_1(-4)=0,\ T_1(2)=9,\ T_1(4)=8.$$ Она возрастает до 2, затем убывает. При $0<b<8$ даёт один корень; при $b=8$ два; при $8<b<9$ два; при $b=9$ один; при $b>9$ ни одного. $$T_2=u-8+u^2/4=(u+2)^2/4-9.$$ На $[-4;4]$ её максимальное значение равно 0 (при $u=4$), поэтому при $b>0$ эта формула корней не даёт. Проверим совпадения. Две нижние формулы описывают одну точку только при $u^2/4=0$, то есть $u=b=0$. Верхние между собой не совпадают, поскольку $8-u^2/4\ge4>0$. Верхняя и нижняя дуги имеют общие точки только при $u=\pm4$, $y=0$. Они могут посчитаться дважды на уровнях $b=0$ или $b=\pm8$. При $0<b<1$ имеем $1+2+1=4$ различные точки. При $b=1$ — $1+1+1=3$. При $1<b<8$ — $1+0+1=2$. При $b=8$ нижняя формула даёт $u=4$, верхняя $u=0,4$; общую точку $u=4$ считаем один раз, всего две. При $8<b<9$ только две верхние; при $b=9$ одна; при $b>9$ ни одной. Отдельно $b=0$. Нижние формулы дают $u=-4,0,4$ (общий $u=0$ учтён один раз). Верхние добавляют только уже имеющиеся концы $u=-4,4$. Всего три точки. Значит, ровно четыре при $0<|b|<1$. Возвращаемся к параметру: $$0<|a+4|<1\ \Longleftrightarrow\ -1<a+4<1,\quad a+4\ne0,$$ $$-5<a<-3,\quad a\ne-4.$$ Ответ: $(-5;-4)\cup(-4;-3)$.