ФИПИ E156E1 — Системы и совокупности уравнений с параметром

Нужно четыре различные пары $(x;y)$. Во втором уравнении сумма квадратов равна $a$, поэтому при $a<0$ решений нет. При $a=0$ оба квадрата нулевые, но тогда первое уравнение потребовало бы $0=12\cdot0-28=-28$, что неверно. Далее считаем $a>0$. Разложим разность четвёртых степеней как разность квадратов: $$x^4-y^4=(x^2-y^2)(x^2+y^2).$$ Подставим известную сумму $x^2+y^2=a$: $$a(x^2-y^2)=12a-28\ \Longrightarrow\ x^2-y^2=\frac{12a-28}a.$$ Деление допустимо, поскольку $a>0$. Сложим это равенство с $x^2+y^2=a$, а затем вычтем его: $$2x^2=a+\frac{12a-28}a=\frac{a^2+12a-28}a,$$ $$x^2=\frac{a^2+12a-28}{2a};$$ $$2y^2=a-\frac{12a-28}a=\frac{a^2-12a+28}a,$$ $$y^2=\frac{a^2-12a+28}{2a}.$$ Чтобы получилось четыре пары, оба выражения должны быть строго положительны. Тогда у $x$ два независимых знака, у $y$ тоже два: $2\cdot2=4$. При нулевом квадрате остаётся только один знак и максимум две пары, а отрицательный квадрат невозможен. Знаменатель $2a>0$, поэтому решаем два неравенства для числителей. Первое: $$a^2+12a-28>0,\qquad D_1=12^2-4\cdot1\cdot(-28)=144+112=256=16^2,$$ $$a_{1,2}=\frac{-12\pm16}2:\quad a_1=-14,\ a_2=2.$$ Квадратный трёхчлен со старшим коэффициентом $+1$ положителен вне корней: $a<-14$ или $a>2$. С учётом $a>0$ остаётся $a>2$. Второе: $$a^2-12a+28>0,\qquad D_2=(-12)^2-4\cdot28=144-112=32=(4\sqrt2)^2,$$ $$a_{1,2}=\frac{12\pm4\sqrt2}2=6\pm2\sqrt2.$$ Поэтому $a<6-2\sqrt2$ или $a>6+2\sqrt2$. Пересекаем с $a>2$: ответ $(2;6-2\sqrt2)\cup(6+2\sqrt2;+\infty)$. На всех исключённых границах один квадрат нулевой, поэтому четыре пары действительно не получаются.