ФИПИ 07CC1C — Системы и совокупности уравнений с параметром

Нужно четыре разных решения системы, то есть четыре разные пары $(x;y)$. Второе уравнение позволяет разбить поиск на две прямые. Перенесём $x^2$ влево и разложим разность квадратов: $$y^2-x^2=(y-x)(y+x)=0.$$ Значит, $y=x$ либо $y=-x$. Подставим каждое выражение в первое уравнение. Для $y=x$: $$x=(a+2)x^2+2ax+a-2,$$ $$(a+2)x^2+(2a-1)x+a-2=0.$$ Для $y=-x$: $$-x=(a+2)x^2+2ax+a-2,$$ $$(a+2)x^2+(2a+1)x+a-2=0.$$ Каждое квадратное уравнение даёт максимум две точки. Чтобы всего было четыре, обе пары должны существовать и быть различными. Если $a=-2$, квадратный член исчезает: обе ветви линейные и дают не более двух точек всего. Исключаем $a=-2$. При $a e-2$ два разных действительных корня существуют ровно при положительном дискриминанте. Вычисляем первый: $$D_1=(2a-1)^2-4(a+2)(a-2)$$ $$D_1=4a^2-4a+1-4(a^2-4)=4a^2-4a+1-4a^2+16=17-4a.$$ Аналогично второй: $$D_2=(2a+1)^2-4(a+2)(a-2)$$ $$D_2=4a^2+4a+1-4a^2+16=17+4a.$$ Оба должны быть положительны: $$17-4a>0\ \Longrightarrow\ a<\frac{17}4,\qquad17+4a>0\ \Longrightarrow\ a>-\frac{17}4.$$ Остаётся проверить, не считают ли две ветви одну точку дважды. Общая точка прямых удовлетворяет одновременно $y=x$ и $y=-x$. Тогда $x=-x$, то есть $2x=0$ и $x=y=0$. Подставим эту точку в первое уравнение: $$0=(a+2)\cdot0^2+2a\cdot0+a-2=a-2\ \Longrightarrow\ a=2.$$ При $a=2$ две пары имеют ровно одну общую точку, поэтому различных решений три. Исключаем и этот параметр. Других совпадений быть не может, поскольку прямые пересекаются только в начале координат. При найденных остальных параметрах дискриминанты положительны, квадратный коэффициент ненулевой, пары не пересекаются: получается ровно четыре решения. Ответ: $(-17/4;-2)\cup(-2;2)\cup(2;17/4)$.