Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$\{\begin{matrix}{x}^{2}+{y}^{2}- 4(a+1)x- 2ay+5{a}^{2}+8a+3=0, \\ {y}^{2}={x}^{2}\end{matrix}$
имеет ровно четыре различных решения.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $a\in(\frac{-2-\sqrt2}3;-2+\sqrt2)\setminus\{-1;-\frac35\}$.
Решение
Нужны четыре различные точки. Сначала выделим квадраты в первом уравнении:
$$x^2-4(a+1)x=(x-2a-2)^2-4(a+1)^2,$$
$$y^2-2ay=(y-a)^2-a^2.$$
Подставляем и вычисляем свободную часть:
$$-4(a+1)^2-a^2+5a^2+8a+3$$
$$=-4a^2-8a-4-a^2+5a^2+8a+3=-1.$$
Получили окружность:
$$(x-2a-2)^2+(y-a)^2=1.$$
Её центр $(2a+2;a)$, радиус 1. Второе уравнение разлагается:
$$y^2-x^2=(y-x)(y+x)=0.$$
Значит, пересекаем окружность с двумя прямыми $y=x$ и $y=-x$. Для четырёх точек каждая должна быть секущей. Расстояние от $(x_0;y_0)$ до $Ax+By+C=0$ равно $|Ax_0+By_0+C|/\sqrt{A^2+B^2}$. Подставляем центр:
$$d_1=\frac{|(2a+2)-a|}{\sqrt2}=\frac{|a+2|}{\sqrt2},$$
$$d_2=\frac{|(2a+2)+a|}{\sqrt2}=\frac{|3a+2|}{\sqrt2}.$$
Требуем строго меньше радиуса:
$$|a+2|<\sqrt2\ \Longleftrightarrow\ -2-\sqrt2<a<-2+\sqrt2,$$
$$|3a+2|<\sqrt2\ \Longleftrightarrow\ \frac{-2-\sqrt2}3<a<\frac{-2+\sqrt2}3.$$
Левая более строгая граница — $(-2-\sqrt2)/3$, правая — $-2+\sqrt2$. Поэтому:
$$\frac{-2-\sqrt2}3<a<-2+\sqrt2.$$
Две прямые пересекаются только в $(0;0)$. Если эта точка на окружности, её нельзя считать дважды. Подставляем в исходное первое уравнение:
$$5a^2+8a+3=0.$$
Разложение получим группировкой:
$$5a^2+5a+3a+3=5a(a+1)+3(a+1)=(5a+3)(a+1).$$
Поэтому исключаем $a=-3/5,-1$. Оба находятся внутри найденного интервала (это проверяется прямой подстановкой в два условия расстояний). При остальных параметрах две пары точек не имеют общей точки. Ответ: $\bigl((-2-\sqrt2)/3;-2+\sqrt2\bigr)\setminus\{-1;-3/5\}$.