Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$\{\begin{matrix}(x+ay-5)(x+ay-5a)=0, \\ {x}^{2}+{y}^{2}=16\end{matrix}$
имеет ровно четыре различных решения.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $a\in(-\frac43;-\frac34)\cup(\frac34;1)\cup(1;\frac43)$.
Решение
Первое уравнение — произведение двух линейных выражений. Оно равно нулю на одной из прямых:
$$x+ay=5\qquad\text{или}\qquad x+ay=5a.$$
Второе уравнение — окружность с центром в начале координат и радиусом 4. Каждая прямая может дать максимум две точки окружности, поэтому для четырёх решений нужны две различные прямые, каждая пересекающая окружность в двух точках.
Расстояние от начала координат до прямой $Ax+By=C$ равно $|C|/\sqrt{A^2+B^2}$. Здесь это:
$$d_1=\frac5{\sqrt{1+a^2}},\qquad d_2=\frac{5|a|}{\sqrt{1+a^2}}.$$
Прямая пересекает окружность дважды, когда расстояние до её центра строго меньше радиуса. При равенстве была бы одна точка касания. Решим первое условие:
$$\frac5{\sqrt{1+a^2}}<4.$$
Обе стороны положительны, поэтому можно возвести в квадрат и умножить на положительное $1+a^2$:
$$\frac{25}{1+a^2}<16\ \Longleftrightarrow 25<16+16a^2$$
$$9<16a^2\ \Longleftrightarrow\ |a|>\frac34.$$
Аналогично для второй прямой:
$$\frac{25a^2}{1+a^2}<16\ \Longleftrightarrow 25a^2<16+16a^2$$
$$9a^2<16\ \Longleftrightarrow\ |a|<\frac43.$$
Значит, $3/4<|a|<4/3$. Обе прямые имеют одинаковую левую часть; они совпадают только при одинаковых правых частях:
$$5=5a\ \Longrightarrow\ a=1.$$
При $a=1$ есть всего две точки, поэтому исключаем этот параметр. При остальных значениях прямые параллельны и различны: общих точек у них нет, и четыре пересечения действительно разные. Ответ: $(-4/3;-3/4)\cup(3/4;1)\cup(1;4/3)$.