ФИПИ ABE248 — Системы и совокупности уравнений с параметром

Нужно единственное решение системы. Во втором уравнении вынесем $x$: $$x(|y|+1)=2\ \Longrightarrow\ x=\frac2{|y|+1}>0.$$ Знаменатель всегда положителен, поэтому каждому $y$ соответствует ровно один $x$. Остаётся посчитать $y$, разделив случаи по его знаку. При $y\ge0$ подставляем $x=2/(y+1)$ в первое уравнение: $$\frac2{y+1}+ay+a-2=0,$$ $$a(y+1)=2-\frac2{y+1}=\frac{2(y+1)-2}{y+1}=\frac{2y}{y+1},$$ $$a=F(y)=\frac{2y}{(y+1)^2}.$$ На $y\ge0$ знаменатель положителен. Вычислим производную по правилу дроби: $$F\prime(y)=\frac{2(y+1)^2-2y\cdot2(y+1)}{(y+1)^4}$$ $$=\frac{2(y+1)((y+1)-2y)}{(y+1)^4}=\frac{2(1-y)}{(y+1)^3}.$$ Поэтому $F$ возрастает от $F(0)=0$ до $F(1)=2/4=1/2$, затем убывает к 0, оставаясь положительной. На этой ветви: при $a<0$ корней нет; при $a=0$ один $y=0$; при $0<a<1/2$ два; при $a=1/2$ один; при $a>1/2$ ни одного. При $y<0$ введём $u=-y>0$, тогда $x=2/(u+1)$. Первое уравнение: $$\frac2{u+1}-au+a-2=0,$$ $$a(1-u)=2-\frac2{u+1}=\frac{2u}{u+1}.$$ При $u=1$ это равенство потребовало бы $0=1$, значит, такой корень невозможен. При остальных $u$: $$a=H(u)=\frac{2u}{(1-u)(u+1)}=\frac{2u}{1-u^2}.$$ Её производная: $$H\prime(u)=\frac{2(1-u^2)-2u(-2u)}{(1-u^2)^2}=\frac{2+2u^2}{(1-u^2)^2}>0.$$ На $(0;1)$ функция непрерывно возрастает от 0 до плюс бесконечности; на $(1;+\infty)$ от минус бесконечности до 0. Поэтому каждому положительному $a$ отвечает ровно один $u\in(0;1)$, каждому отрицательному — ровно один $u>1$. При $a=0$ положительных $u$ нет. Складываем числа корней двух ветвей, которые не пересекаются по знаку $y$: при $a<0$ всего один; при $a=0$ только $(x;y)=(2;0)$; при $0<a<1/2$ всего $2+1=3$; при $a=1/2$ всего $1+1=2$; при $a>1/2$ всего один. Ответ: $(-\infty;0]\cup(1/2;+\infty)$.