Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений
$\{\begin{matrix}x+y=a, \\ |y|=|{x}^{2}-2x|\end{matrix}$
имеет ровно два различных решения.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $a\in(-\infty;-\frac14)\cup(\frac94;+\infty)$.
Решение
Нужно ровно две разные пары $(x;y)$. Первое уравнение даёт $y=a-x$. Равенство модулей $|y|=|x^2-2x|$ равносильно двум вариантам:
$$y=x^2-2x\qquad\text{или}\qquad y=-x^2+2x.$$
Это следует, например, из равенства квадратов: $y^2-(x^2-2x)^2=0$ — произведение двух линейных по $y$ множителей. Подставляем $y=a-x$ в обе ветви:
$$a-x=x^2-2x\ \Longleftrightarrow\ x^2-x-a=0,$$
$$a-x=-x^2+2x\ \Longleftrightarrow\ x^2-3x+a=0.$$
У каждого уравнения максимум два корня, и каждому $x$ соответствует единственное $y=a-x$. Вычислим дискриминанты:
$$D_1=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-a)=1+4a,$$
$$D_2=(-3)^2-4\cdot1\cdot a=9-4a.$$
Поэтому при $a<-1/4$ первая ветвь не имеет корней, вторая даёт два; при $a>9/4$ вторая не имеет корней, первая даёт два. Оба диапазона подходят.
Между этими границами обе ветви дают по два корня. Проверим возможные общие точки. Они должны удовлетворять:
$$x^2-2x=-x^2+2x\ \Longrightarrow 2x^2-4x=2x(x-2)=0.$$
Значит, $x=0$ или $x=2$, и в обоих случаях $y=0$. По первому уравнению это $a=0$ или $a=2$. При каждом из этих значений совпадает ровно одна точка: всего $2+2-1=3$. Одновременно совпасть обе точки не могут, поскольку для них требуются разные $a$. При остальных $-1/4<a<9/4$ общих точек нет: решений четыре.
При $a=-1/4$ или $a=9/4$ одно уравнение даёт один двойной корень, другое — два разных. Общих точек нет, поскольку параметр не равен 0 или 2. Всего три решения, поэтому границы исключены. Все случаи рассмотрены. Ответ: $(-\infty;-1/4)\cup(9/4;+\infty)$.