ФИПИ 7CC260 — Системы и совокупности уравнений с параметром

Нужно ровно две пары при положительном $a$. Из $y=\sqrt{x+4}$ следует $y\ge0$ и после возведения в квадрат $x=y^2-4$. Обратно, при любом $y\ge0$ эта формула даёт допустимый $x$ и $\sqrt{x+4}=\sqrt{y^2}=y$. Поэтому замена полностью равносильна. Первое уравнение: $$|y^2-4|+y=a,\qquad y\ge0.$$ Раскроем модуль по знаку $y^2-4$. При $0\le y\le2$: $$a=4-y^2+y=\frac{17}4-\left(y-\frac12\right)^2.$$ Проверим выделение квадрата: $$\frac{17}4-(y^2-y+1/4)=4-y^2+y.$$ На $[0;1/2]$ функция возрастает, на $[1/2;2]$ убывает. Её значения в ключевых точках: $$a(0)=4,\qquad a(1/2)=17/4,\qquad a(2)=2.$$ При $y\ge2$ другая формула: $$a=y^2+y-4.$$ Она строго возрастает: её производная $2y+1>0$, а начальное значение $a(2)=4+2-4=2$. Значит, эта ветвь принимает каждый уровень от 2 до бесконечности ровно один раз. Считаем все положительные уровни $a$. При $0<a<2$ обе ветви недостижимы: решений нет. При $a=2$ обе формулы дают один и тот же $y=2$, поэтому решение одно. При $2<a<4$ первая ветвь даёт один $y$ на убывающей части, вторая — ещё один $y>2$: всего два. При $a=4$ первая ветвь даёт $y=0$ и $y=1$, поскольку $4-y^2+y=4$ равносильно $y(1-y)=0$; вторая ещё один $y>2$: всего три. При $4<a<17/4$ на первой ветви два $y$ по разные стороны от $1/2$, на второй один: снова три. При $a=17/4$ первая даёт единственный $y=1/2$, вторая ещё один: два. При $a>17/4$ только вторая ветвь даёт один $y$. Каждому посчитанному $y$ соответствует ровно один $x=y^2-4$, поэтому число пар не меняется. Ответ: $(2;4)\cup\{17/4\}$.