Системы и совокупности неравенств с параметром — задание №18 ЕГЭ по математике

Нужно, чтобы нашёлся хотя бы один $x$ на отрезке $[1;2]$, удовлетворяющий сразу трём неравенствам. Сначала получим ограничения, обязательные для любого такого $x$, затем подберём конкретное подходящее значение. Из третьего неравенства: $$x+a>0\ \Longrightarrow\ a>-x.$$ Поскольку $x\le2$, после умножения на $-1$ получаем $-x\ge-2$. Значит: $$a>-x\ge-2\ \Longrightarrow\ a>-2.$$ Из второго неравенства переносим $x^2$ влево: $$6x\ge x^2+a^2\ \Longrightarrow\ a^2\le6x-x^2.$$ На отрезке $[1;2]$ выражение справа не превышает 8. Покажем это без подбора точек: $$8-(6x-x^2)=x^2-6x+8=x(x-2)-4(x-2)=(x-2)(x-4).$$ При $1\le x\le2$ оба множителя неположительны, поэтому их произведение неотрицательно. Следовательно: $$6x-x^2\le8,\qquad a^2\le8\ \Longrightarrow\ -2\sqrt2\le a\le2\sqrt2.$$ С учётом более строгого ограничения $a>-2$ получаем необходимый диапазон: $$-2<a\le2\sqrt2.$$ Теперь докажем, что каждый параметр из этого диапазона подходит. Возьмём $x=2$; это правый конец разрешённого отрезка. Проверим все три исходных неравенства. Первое: из $a>-2$ умножением на 2 и прибавлением 6 получаем: $$2a>-4\ \Longrightarrow\ 2a+6>2,\qquad x=2\le2a+6.$$ Второе: на найденном диапазоне $a^2\le8$. Для отрицательного $a$ это следует из $|a|<2$, а для неотрицательного — из $a\le2\sqrt2$. Подставляем $x=2$: $$6\cdot2=12,\qquad 2^2+a^2=4+a^2\le4+8=12.$$ Третье: $$2+a>2-2=0.$$ Все три неравенства выполнены. При $a=-2$ условие $x+a>0$ потребовало бы $x>2$, поэтому границу исключаем. При $a=2\sqrt2$, $x=2$ второе неравенство становится равенством, что разрешено. Ответ: $(-2;2\sqrt2]$.

Нужен хотя бы один $x$ на отрезке $[3;4]$, подходящий сразу всем трём неравенствам. Сначала найдём обязательные ограничения на $a$. На этом отрезке $x>0$, поэтому из первого неравенства: $$ax\ge2\ \Longrightarrow\ a\ge\frac2x.$$ Так как $x\le4$, деление положительной двойки на $x$ даёт не меньше, чем на 4: $$\frac2x\ge\frac24=\frac12\ \Longrightarrow\ a\ge\frac12.$$ Второе неравенство строгое. Из $x\le4$ следует $x-1\le3$, а квадратный корень возрастает: $$a<\sqrt{x-1}\le\sqrt3\ \Longrightarrow\ a<\sqrt3.$$ Итак, необходимо $1/2\le a<\sqrt3$. Теперь докажем, что этого хватает. При каждом таком $a$ возьмём $x=4$. Проверим все неравенства: $$ax=4a\ge4\cdot\frac12=2,$$ $$\sqrt{x-1}=\sqrt{4-1}=\sqrt3>a,$$ $$3x=12,\qquad2a+11\ge2\cdot\frac12+11=12.$$ Значит, $x=4$ — действительное решение всей системы. При $a=1/2$ нестрогие неравенства разрешают равенство; при $a=\sqrt3$ строгое второе нарушается для любого $x\le4$. Ответ: $[1/2;\sqrt3)$.

Нужно, чтобы система имела хотя бы одно решение на $[4;5]$. Сначала выведем необходимые границы параметра. Здесь $x-1$ положительно и не больше 4. Поэтому: $$a(x-1)\ge4\ \Longrightarrow\ a\ge\frac4{x-1}\ge\frac44=1.$$ Значение $a=1$ проверим отдельно. Первое неравенство тогда требует: $$x-1\ge4\ \Longrightarrow\ x\ge5.$$ Но третье при той же подстановке требует: $$3x<1+14=15\ \Longrightarrow\ x<5.$$ Одновременно эти требования невозможны. Значит, $a>1$. Из второго неравенства и $x\le5$: $$a\le2\sqrt{x-2}\le2\sqrt{5-2}=2\sqrt3.$$ Таким образом, необходимо $1<a\le2\sqrt3$. Проверим достаточность: для каждого такого $a$ возьмём $x=5$. Подстановка в первое неравенство: $$a(5-1)=4a>4\quad\text{и потому}\quad4a\ge4.$$ Второе: $$2\sqrt{5-2}=2\sqrt3\ge a.$$ Третье: $$3\cdot5=15<a+14,\qquad a>1\ \Longrightarrow\ a+14>15.$$ Все условия выполнены. При верхней границе равенство во втором условии разрешено. Нижняя граница исключена доказанным противоречием. Ответ: $(1;2\sqrt3]$.

Ищем параметры, при которых существует хотя бы одно решение $x\in[4;5]$. Из третьего неравенства получаем: $$x+a\le6\ \Longrightarrow\ a\le6-x\le6-4=2.$$ Из второго вычитаем $x^2$: $$6x>x^2+a^2\ \Longrightarrow\ a^2<6x-x^2.$$ Оценим правую часть на данном отрезке. Выделим разность с числом 8: $$8-(6x-x^2)=x^2-6x+8=(x-2)(x-4).$$ На $[4;5]$ оба множителя неотрицательны, поэтому: $$6x-x^2\le8,\qquad a^2<8\ \Longrightarrow\ -2\sqrt2<a<2\sqrt2.$$ Пересекаем это ограничение с $a\le2$. Так как $2<2\sqrt2$, получаем: $$-2\sqrt2<a\le2.$$ Теперь проверим, что каждый такой параметр действительно подходит. Возьмём $x=4$. Тогда первое неравенство: $$2a\le2\cdot2=4=x.$$ Для второго учтём $a^2<8$: при $a<0$ это следует из $a>-2\sqrt2$, а при $a\ge0$ имеем $a^2\le4<8$. Поэтому: $$6\cdot4=24,\qquad4^2+a^2=16+a^2<16+8=24.$$ Третье: $$4+a\le4+2=6.$$ Все условия одновременно выполнены. Левая граница запрещена строгим вторым неравенством; правая допустима. Ответ: $(-2\sqrt2;2]$.