Найдите все значения $a$, при каждом из которых система неравенств
$\{\begin{matrix}a(x-1)\ge 4, \\ 2\sqrt{x-2}\ge a, \\ 3x<a+14\end{matrix}$
имеет хотя бы одно решение на отрезке $[4; 5]$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $a\in(1;2\sqrt3]$.
Решение
Нужно, чтобы система имела хотя бы одно решение на $[4;5]$. Сначала выведем необходимые границы параметра. Здесь $x-1$ положительно и не больше 4. Поэтому:
$$a(x-1)\ge4\ \Longrightarrow\ a\ge\frac4{x-1}\ge\frac44=1.$$
Значение $a=1$ проверим отдельно. Первое неравенство тогда требует:
$$x-1\ge4\ \Longrightarrow\ x\ge5.$$
Но третье при той же подстановке требует:
$$3x<1+14=15\ \Longrightarrow\ x<5.$$
Одновременно эти требования невозможны. Значит, $a>1$. Из второго неравенства и $x\le5$:
$$a\le2\sqrt{x-2}\le2\sqrt{5-2}=2\sqrt3.$$
Таким образом, необходимо $1<a\le2\sqrt3$. Проверим достаточность: для каждого такого $a$ возьмём $x=5$. Подстановка в первое неравенство:
$$a(5-1)=4a>4\quad\text{и потому}\quad4a\ge4.$$
Второе:
$$2\sqrt{5-2}=2\sqrt3\ge a.$$
Третье:
$$3\cdot5=15<a+14,\qquad a>1\ \Longrightarrow\ a+14>15.$$
Все условия выполнены. При верхней границе равенство во втором условии разрешено. Нижняя граница исключена доказанным противоречием. Ответ: $(1;2\sqrt3]$.