Найдите все значения $a$, при каждом из которых система неравенств
$\{\begin{matrix}x\le 2a+6, \\ 6x\ge {x}^{2}+{a}^{2}, \\ x+a>0\end{matrix}$
имеет хотя бы одно решение на отрезке $[1; 2]$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $a\in(-2;2\sqrt2]$.
Решение
Нужно, чтобы нашёлся хотя бы один $x$ на отрезке $[1;2]$, удовлетворяющий сразу трём неравенствам. Сначала получим ограничения, обязательные для любого такого $x$, затем подберём конкретное подходящее значение.
Из третьего неравенства:
$$x+a>0\ \Longrightarrow\ a>-x.$$
Поскольку $x\le2$, после умножения на $-1$ получаем $-x\ge-2$. Значит:
$$a>-x\ge-2\ \Longrightarrow\ a>-2.$$
Из второго неравенства переносим $x^2$ влево:
$$6x\ge x^2+a^2\ \Longrightarrow\ a^2\le6x-x^2.$$
На отрезке $[1;2]$ выражение справа не превышает 8. Покажем это без подбора точек:
$$8-(6x-x^2)=x^2-6x+8=x(x-2)-4(x-2)=(x-2)(x-4).$$
При $1\le x\le2$ оба множителя неположительны, поэтому их произведение неотрицательно. Следовательно:
$$6x-x^2\le8,\qquad a^2\le8\ \Longrightarrow\ -2\sqrt2\le a\le2\sqrt2.$$
С учётом более строгого ограничения $a>-2$ получаем необходимый диапазон:
$$-2<a\le2\sqrt2.$$
Теперь докажем, что каждый параметр из этого диапазона подходит. Возьмём $x=2$; это правый конец разрешённого отрезка. Проверим все три исходных неравенства.
Первое: из $a>-2$ умножением на 2 и прибавлением 6 получаем:
$$2a>-4\ \Longrightarrow\ 2a+6>2,\qquad x=2\le2a+6.$$
Второе: на найденном диапазоне $a^2\le8$. Для отрицательного $a$ это следует из $|a|<2$, а для неотрицательного — из $a\le2\sqrt2$. Подставляем $x=2$:
$$6\cdot2=12,\qquad 2^2+a^2=4+a^2\le4+8=12.$$
Третье:
$$2+a>2-2=0.$$
Все три неравенства выполнены. При $a=-2$ условие $x+a>0$ потребовало бы $x>2$, поэтому границу исключаем. При $a=2\sqrt2$, $x=2$ второе неравенство становится равенством, что разрешено. Ответ: $(-2;2\sqrt2]$.