Найдите все значения $a$, при каждом из которых система неравенств
$\{\begin{matrix}ax\ge 2, \\ \sqrt{x-1}>a, \\ 3x\le 2a+11\end{matrix}$
имеет хотя бы одно решение на отрезке $[3; 4]$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $a\in[\frac12;\sqrt3)$.
Решение
Нужен хотя бы один $x$ на отрезке $[3;4]$, подходящий сразу всем трём неравенствам. Сначала найдём обязательные ограничения на $a$. На этом отрезке $x>0$, поэтому из первого неравенства:
$$ax\ge2\ \Longrightarrow\ a\ge\frac2x.$$
Так как $x\le4$, деление положительной двойки на $x$ даёт не меньше, чем на 4:
$$\frac2x\ge\frac24=\frac12\ \Longrightarrow\ a\ge\frac12.$$
Второе неравенство строгое. Из $x\le4$ следует $x-1\le3$, а квадратный корень возрастает:
$$a<\sqrt{x-1}\le\sqrt3\ \Longrightarrow\ a<\sqrt3.$$
Итак, необходимо $1/2\le a<\sqrt3$. Теперь докажем, что этого хватает. При каждом таком $a$ возьмём $x=4$. Проверим все неравенства:
$$ax=4a\ge4\cdot\frac12=2,$$
$$\sqrt{x-1}=\sqrt{4-1}=\sqrt3>a,$$
$$3x=12,\qquad2a+11\ge2\cdot\frac12+11=12.$$
Значит, $x=4$ — действительное решение всей системы. При $a=1/2$ нестрогие неравенства разрешают равенство; при $a=\sqrt3$ строгое второе нарушается для любого $x\le4$. Ответ: $[1/2;\sqrt3)$.