Найдите все значения $a$, при каждом из которых система неравенств
$\{\begin{matrix}2a\le x, \\ 6x>{x}^{2}+{a}^{2}, \\ x+a\le 6\end{matrix}$
имеет хотя бы одно решение на отрезке $[4; 5]$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $a\in(-2\sqrt2;2]$.
Решение
Ищем параметры, при которых существует хотя бы одно решение $x\in[4;5]$. Из третьего неравенства получаем:
$$x+a\le6\ \Longrightarrow\ a\le6-x\le6-4=2.$$
Из второго вычитаем $x^2$:
$$6x>x^2+a^2\ \Longrightarrow\ a^2<6x-x^2.$$
Оценим правую часть на данном отрезке. Выделим разность с числом 8:
$$8-(6x-x^2)=x^2-6x+8=(x-2)(x-4).$$
На $[4;5]$ оба множителя неотрицательны, поэтому:
$$6x-x^2\le8,\qquad a^2<8\ \Longrightarrow\ -2\sqrt2<a<2\sqrt2.$$
Пересекаем это ограничение с $a\le2$. Так как $2<2\sqrt2$, получаем:
$$-2\sqrt2<a\le2.$$
Теперь проверим, что каждый такой параметр действительно подходит. Возьмём $x=4$. Тогда первое неравенство:
$$2a\le2\cdot2=4=x.$$
Для второго учтём $a^2<8$: при $a<0$ это следует из $a>-2\sqrt2$, а при $a\ge0$ имеем $a^2\le4<8$. Поэтому:
$$6\cdot4=24,\qquad4^2+a^2=16+a^2<16+8=24.$$
Третье:
$$4+a\le4+2=6.$$
Все условия одновременно выполнены. Левая граница запрещена строгим вторым неравенством; правая допустима. Ответ: $(-2\sqrt2;2]$.