Операции над векторами, длина вектора — задание №2 ЕГЭ по математике

Требуется длина вектора, полученного из двух заданных. Сначала найдём координаты этого вектора: умножение на число и сложение векторов выполняются отдельно для каждой координаты. Обозначим искомый вектор через $\vec w=5\vec a+1\vec b$. Его первая координата вычисляется из первых координат $\vec a$ и $\vec b$: $$w_x=5\cdot1+1\cdot5=5+5=10$$ Так же вычислим вторую координату. Если вычитаем отрицательное число, это равносильно прибавлению положительного: $$w_y=5\cdot5+1\cdot(-1)=25+(-1)=24$$ $$\vec w=(10;24)$$ Теперь применяем формулу длины: она следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами, равными модулям координат: $$|\vec w|=\sqrt{w_x^2+w_y^2}$$ Возводим каждую координату в квадрат и складываем: $$10^2=100$$ $$24^2=576$$ $$100+576=676$$ Извлекаем неотрицательный квадратный корень: $$|\vec w|=\sqrt{676}=26$$ Проверка: $$26^2=676$$ Ответ: $26$.

Требуется длина вектора, полученного из двух заданных. Сначала найдём координаты этого вектора: умножение на число и сложение векторов выполняются отдельно для каждой координаты. Обозначим искомый вектор через $\vec w=7\vec a+1\vec b$. Его первая координата вычисляется из первых координат $\vec a$ и $\vec b$: $$w_x=7\cdot2+1\cdot2=14+2=16$$ Так же вычислим вторую координату. Если вычитаем отрицательное число, это равносильно прибавлению положительного: $$w_y=7\cdot2+1\cdot(-2)=14+(-2)=12$$ $$\vec w=(16;12)$$ Теперь применяем формулу длины: она следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами, равными модулям координат: $$|\vec w|=\sqrt{w_x^2+w_y^2}$$ Возводим каждую координату в квадрат и складываем: $$16^2=256$$ $$12^2=144$$ $$256+144=400$$ Извлекаем неотрицательный квадратный корень: $$|\vec w|=\sqrt{400}=20$$ Проверка: $$20^2=400$$ Ответ: $20$.

Требуется длина вектора, полученного из двух заданных. Сначала найдём координаты этого вектора: умножение на число и сложение векторов выполняются отдельно для каждой координаты. Обозначим искомый вектор через $\vec w=1\vec a-4\vec b$. Его первая координата вычисляется из первых координат $\vec a$ и $\vec b$: $$w_x=1\cdot25+(-4)\cdot1=25+(-4)=21$$ Так же вычислим вторую координату. Если вычитаем отрицательное число, это равносильно прибавлению положительного: $$w_y=1\cdot0+(-4)\cdot(-5)=0+20=20$$ $$\vec w=(21;20)$$ Теперь применяем формулу длины: она следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами, равными модулям координат: $$|\vec w|=\sqrt{w_x^2+w_y^2}$$ Возводим каждую координату в квадрат и складываем: $$21^2=441$$ $$20^2=400$$ $$441+400=841$$ Извлекаем неотрицательный квадратный корень: $$|\vec w|=\sqrt{841}=29$$ Проверка: $$29^2=841$$ Ответ: $29$.

Требуется длина вектора, полученного из двух заданных. Сначала найдём координаты этого вектора: умножение на число и сложение векторов выполняются отдельно для каждой координаты. Обозначим искомый вектор через $\vec w=6\vec a+3\vec b$. Его первая координата вычисляется из первых координат $\vec a$ и $\vec b$: $$w_x=6\cdot1+3\cdot2=6+6=12$$ Так же вычислим вторую координату. Если вычитаем отрицательное число, это равносильно прибавлению положительного: $$w_y=6\cdot2+3\cdot(-1)=12+(-3)=9$$ $$\vec w=(12;9)$$ Теперь применяем формулу длины: она следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами, равными модулям координат: $$|\vec w|=\sqrt{w_x^2+w_y^2}$$ Возводим каждую координату в квадрат и складываем: $$12^2=144$$ $$9^2=81$$ $$144+81=225$$ Извлекаем неотрицательный квадратный корень: $$|\vec w|=\sqrt{225}=15$$ Проверка: $$15^2=225$$ Ответ: $15$.

Требуется длина вектора, полученного из двух заданных. Сначала найдём координаты этого вектора: умножение на число и сложение векторов выполняются отдельно для каждой координаты. Обозначим искомый вектор через $\vec w=6\vec a+2\vec b$. Его первая координата вычисляется из первых координат $\vec a$ и $\vec b$: $$w_x=6\cdot1+2\cdot3=6+6=12$$ Так же вычислим вторую координату. Если вычитаем отрицательное число, это равносильно прибавлению положительного: $$w_y=6\cdot3+2\cdot(-1)=18+(-2)=16$$ $$\vec w=(12;16)$$ Теперь применяем формулу длины: она следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами, равными модулям координат: $$|\vec w|=\sqrt{w_x^2+w_y^2}$$ Возводим каждую координату в квадрат и складываем: $$12^2=144$$ $$16^2=256$$ $$144+256=400$$ Извлекаем неотрицательный квадратный корень: $$|\vec w|=\sqrt{400}=20$$ Проверка: $$20^2=400$$ Ответ: $20$.

Требуется длина вектора, полученного из двух заданных. Сначала найдём координаты этого вектора: умножение на число и сложение векторов выполняются отдельно для каждой координаты. Обозначим искомый вектор через $\vec w=1\vec a-24\vec b$. Его первая координата вычисляется из первых координат $\vec a$ и $\vec b$: $$w_x=1\cdot31+(-24)\cdot1=31+(-24)=7$$ Так же вычислим вторую координату. Если вычитаем отрицательное число, это равносильно прибавлению положительного: $$w_y=1\cdot0+(-24)\cdot(-1)=0+24=24$$ $$\vec w=(7;24)$$ Теперь применяем формулу длины: она следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами, равными модулям координат: $$|\vec w|=\sqrt{w_x^2+w_y^2}$$ Возводим каждую координату в квадрат и складываем: $$7^2=49$$ $$24^2=576$$ $$49+576=625$$ Извлекаем неотрицательный квадратный корень: $$|\vec w|=\sqrt{625}=25$$ Проверка: $$25^2=625$$ Ответ: $25$.

Требуется длина вектора, полученного из двух заданных. Сначала найдём координаты этого вектора: умножение на число и сложение векторов выполняются отдельно для каждой координаты. Обозначим искомый вектор через $\vec w=1\vec a+3\vec b$. Его первая координата вычисляется из первых координат $\vec a$ и $\vec b$: $$w_x=1\cdot2+3\cdot1=2+3=5$$ Так же вычислим вторую координату. Если вычитаем отрицательное число, это равносильно прибавлению положительного: $$w_y=1\cdot0+3\cdot4=0+12=12$$ $$\vec w=(5;12)$$ Теперь применяем формулу длины: она следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами, равными модулям координат: $$|\vec w|=\sqrt{w_x^2+w_y^2}$$ Возводим каждую координату в квадрат и складываем: $$5^2=25$$ $$12^2=144$$ $$25+144=169$$ Извлекаем неотрицательный квадратный корень: $$|\vec w|=\sqrt{169}=13$$ Проверка: $$13^2=169$$ Ответ: $13$.

Требуется длина вектора, полученного из двух заданных. Сначала найдём координаты этого вектора: умножение на число и сложение векторов выполняются отдельно для каждой координаты. Обозначим искомый вектор через $\vec w=8\vec a+1\vec b$. Его первая координата вычисляется из первых координат $\vec a$ и $\vec b$: $$w_x=8\cdot1+1\cdot0=8+0=8$$ Так же вычислим вторую координату. Если вычитаем отрицательное число, это равносильно прибавлению положительного: $$w_y=8\cdot1+1\cdot7=8+7=15$$ $$\vec w=(8;15)$$ Теперь применяем формулу длины: она следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами, равными модулям координат: $$|\vec w|=\sqrt{w_x^2+w_y^2}$$ Возводим каждую координату в квадрат и складываем: $$8^2=64$$ $$15^2=225$$ $$64+225=289$$ Извлекаем неотрицательный квадратный корень: $$|\vec w|=\sqrt{289}=17$$ Проверка: $$17^2=289$$ Ответ: $17$.

Требуется длина вектора, полученного из двух заданных. Сначала найдём координаты этого вектора: умножение на число и сложение векторов выполняются отдельно для каждой координаты. Обозначим искомый вектор через $\vec w=14\vec a+2\vec b$. Его первая координата вычисляется из первых координат $\vec a$ и $\vec b$: $$w_x=14\cdot1+2\cdot1=14+2=16$$ Так же вычислим вторую координату. Если вычитаем отрицательное число, это равносильно прибавлению положительного: $$w_y=14\cdot1+2\cdot(-1)=14+(-2)=12$$ $$\vec w=(16;12)$$ Теперь применяем формулу длины: она следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами, равными модулям координат: $$|\vec w|=\sqrt{w_x^2+w_y^2}$$ Возводим каждую координату в квадрат и складываем: $$16^2=256$$ $$12^2=144$$ $$256+144=400$$ Извлекаем неотрицательный квадратный корень: $$|\vec w|=\sqrt{400}=20$$ Проверка: $$20^2=400$$ Ответ: $20$.

Требуется длина вектора, полученного из двух заданных. Сначала найдём координаты этого вектора: умножение на число и сложение векторов выполняются отдельно для каждой координаты. Обозначим искомый вектор через $\vec w=4\vec a+3\vec b$. Его первая координата вычисляется из первых координат $\vec a$ и $\vec b$: $$w_x=4\cdot3+3\cdot4=12+12=24$$ Так же вычислим вторую координату. Если вычитаем отрицательное число, это равносильно прибавлению положительного: $$w_y=4\cdot4+3\cdot(-3)=16+(-9)=7$$ $$\vec w=(24;7)$$ Теперь применяем формулу длины: она следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами, равными модулям координат: $$|\vec w|=\sqrt{w_x^2+w_y^2}$$ Возводим каждую координату в квадрат и складываем: $$24^2=576$$ $$7^2=49$$ $$576+49=625$$ Извлекаем неотрицательный квадратный корень: $$|\vec w|=\sqrt{625}=25$$ Проверка: $$25^2=625$$ Ответ: $25$.

Требуется длина вектора, полученного из двух заданных. Сначала найдём координаты этого вектора: умножение на число и сложение векторов выполняются отдельно для каждой координаты. Обозначим искомый вектор через $\vec w=8\vec a+4\vec b$. Его первая координата вычисляется из первых координат $\vec a$ и $\vec b$: $$w_x=8\cdot1+4\cdot2=8+8=16$$ Так же вычислим вторую координату. Если вычитаем отрицательное число, это равносильно прибавлению положительного: $$w_y=8\cdot2+4\cdot(-1)=16+(-4)=12$$ $$\vec w=(16;12)$$ Теперь применяем формулу длины: она следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами, равными модулям координат: $$|\vec w|=\sqrt{w_x^2+w_y^2}$$ Возводим каждую координату в квадрат и складываем: $$16^2=256$$ $$12^2=144$$ $$256+144=400$$ Извлекаем неотрицательный квадратный корень: $$|\vec w|=\sqrt{400}=20$$ Проверка: $$20^2=400$$ Ответ: $20$.