Даны векторы $\vec{a}(1; 3)$ и $\vec{b}(3; -1).$ Найдите длину вектора $6\vec{a}+2\vec{b}.$
Ответ: $20$.
Решение
Требуется длина вектора, полученного из двух заданных. Сначала найдём координаты этого вектора: умножение на число и сложение векторов выполняются отдельно для каждой координаты.
Обозначим искомый вектор через $\vec w=6\vec a+2\vec b$. Его первая координата вычисляется из первых координат $\vec a$ и $\vec b$:
$$w_x=6\cdot1+2\cdot3=6+6=12$$
Так же вычислим вторую координату. Если вычитаем отрицательное число, это равносильно прибавлению положительного:
$$w_y=6\cdot3+2\cdot(-1)=18+(-2)=16$$
$$\vec w=(12;16)$$
Теперь применяем формулу длины: она следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами, равными модулям координат:
$$|\vec w|=\sqrt{w_x^2+w_y^2}$$
Возводим каждую координату в квадрат и складываем:
$$12^2=144$$
$$16^2=256$$
$$144+256=400$$
Извлекаем неотрицательный квадратный корень:
$$|\vec w|=\sqrt{400}=20$$
Проверка:
$$20^2=400$$
Ответ: $20$.