Даны векторы $\vec{a}(1; 1)$ и $\vec{b}(0; 7).$ Найдите длину вектора $8\vec{a}+\vec{b}.$
Ответ: $17$.
Решение
Требуется длина вектора, полученного из двух заданных. Сначала найдём координаты этого вектора: умножение на число и сложение векторов выполняются отдельно для каждой координаты.
Обозначим искомый вектор через $\vec w=8\vec a+1\vec b$. Его первая координата вычисляется из первых координат $\vec a$ и $\vec b$:
$$w_x=8\cdot1+1\cdot0=8+0=8$$
Так же вычислим вторую координату. Если вычитаем отрицательное число, это равносильно прибавлению положительного:
$$w_y=8\cdot1+1\cdot7=8+7=15$$
$$\vec w=(8;15)$$
Теперь применяем формулу длины: она следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами, равными модулям координат:
$$|\vec w|=\sqrt{w_x^2+w_y^2}$$
Возводим каждую координату в квадрат и складываем:
$$8^2=64$$
$$15^2=225$$
$$64+225=289$$
Извлекаем неотрицательный квадратный корень:
$$|\vec w|=\sqrt{289}=17$$
Проверка:
$$17^2=289$$
Ответ: $17$.