Даны векторы $\vec{a}(25; 0)$ и $\vec{b}(1; -5).$ Найдите длину вектора $\vec{a}-4\vec{b}.$
Ответ: $29$.
Решение
Требуется длина вектора, полученного из двух заданных. Сначала найдём координаты этого вектора: умножение на число и сложение векторов выполняются отдельно для каждой координаты.
Обозначим искомый вектор через $\vec w=1\vec a-4\vec b$. Его первая координата вычисляется из первых координат $\vec a$ и $\vec b$:
$$w_x=1\cdot25+(-4)\cdot1=25+(-4)=21$$
Так же вычислим вторую координату. Если вычитаем отрицательное число, это равносильно прибавлению положительного:
$$w_y=1\cdot0+(-4)\cdot(-5)=0+20=20$$
$$\vec w=(21;20)$$
Теперь применяем формулу длины: она следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами, равными модулям координат:
$$|\vec w|=\sqrt{w_x^2+w_y^2}$$
Возводим каждую координату в квадрат и складываем:
$$21^2=441$$
$$20^2=400$$
$$441+400=841$$
Извлекаем неотрицательный квадратный корень:
$$|\vec w|=\sqrt{841}=29$$
Проверка:
$$29^2=841$$
Ответ: $29$.