Даны векторы $\vec{a}(1; 2)$ и $\vec{b}(2; -1).$ Найдите длину вектора $6\vec{a}+3\vec{b}.$
Ответ: $15$.
Решение
Требуется длина вектора, полученного из двух заданных. Сначала найдём координаты этого вектора: умножение на число и сложение векторов выполняются отдельно для каждой координаты.
Обозначим искомый вектор через $\vec w=6\vec a+3\vec b$. Его первая координата вычисляется из первых координат $\vec a$ и $\vec b$:
$$w_x=6\cdot1+3\cdot2=6+6=12$$
Так же вычислим вторую координату. Если вычитаем отрицательное число, это равносильно прибавлению положительного:
$$w_y=6\cdot2+3\cdot(-1)=12+(-3)=9$$
$$\vec w=(12;9)$$
Теперь применяем формулу длины: она следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами, равными модулям координат:
$$|\vec w|=\sqrt{w_x^2+w_y^2}$$
Возводим каждую координату в квадрат и складываем:
$$12^2=144$$
$$9^2=81$$
$$144+81=225$$
Извлекаем неотрицательный квадратный корень:
$$|\vec w|=\sqrt{225}=15$$
Проверка:
$$15^2=225$$
Ответ: $15$.