Даны векторы $\vec{a}(31; 0)$ и $\vec{b}(1; -1).$ Найдите длину вектора $\vec{a}-24\vec{b}.$
Ответ: $25$.
Решение
Требуется длина вектора, полученного из двух заданных. Сначала найдём координаты этого вектора: умножение на число и сложение векторов выполняются отдельно для каждой координаты.
Обозначим искомый вектор через $\vec w=1\vec a-24\vec b$. Его первая координата вычисляется из первых координат $\vec a$ и $\vec b$:
$$w_x=1\cdot31+(-24)\cdot1=31+(-24)=7$$
Так же вычислим вторую координату. Если вычитаем отрицательное число, это равносильно прибавлению положительного:
$$w_y=1\cdot0+(-24)\cdot(-1)=0+24=24$$
$$\vec w=(7;24)$$
Теперь применяем формулу длины: она следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами, равными модулям координат:
$$|\vec w|=\sqrt{w_x^2+w_y^2}$$
Возводим каждую координату в квадрат и складываем:
$$7^2=49$$
$$24^2=576$$
$$49+576=625$$
Извлекаем неотрицательный квадратный корень:
$$|\vec w|=\sqrt{625}=25$$
Проверка:
$$25^2=625$$
Ответ: $25$.