Даны векторы $\vec{a}(1; 5)$ и $\vec{b}(5; -1).$ Найдите длину вектора $5\vec{a}+\vec{b}.$
Ответ: $26$
Решение
Требуется длина вектора, полученного из двух заданных. Сначала найдём координаты этого вектора: умножение на число и сложение векторов выполняются отдельно для каждой координаты.
Обозначим искомый вектор через $\vec w=5\vec a+1\vec b$. Его первая координата вычисляется из первых координат $\vec a$ и $\vec b$:
$$w_x=5\cdot1+1\cdot5=5+5=10$$
Так же вычислим вторую координату. Если вычитаем отрицательное число, это равносильно прибавлению положительного:
$$w_y=5\cdot5+1\cdot(-1)=25+(-1)=24$$
$$\vec w=(10;24)$$
Теперь применяем формулу длины: она следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами, равными модулям координат:
$$|\vec w|=\sqrt{w_x^2+w_y^2}$$
Возводим каждую координату в квадрат и складываем:
$$10^2=100$$
$$24^2=576$$
$$100+576=676$$
Извлекаем неотрицательный квадратный корень:
$$|\vec w|=\sqrt{676}=26$$
Проверка:
$$26^2=676$$
Ответ: $26$.