Задание №2 ЕГЭ по математике: Векторы

Нужно получить скалярное произведение — одно число. Координат в условии нет, зато известны длины векторов и угол между ними. Поэтому используем формулу через длины и косинус угла. $$\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\alpha$$ Для угла $60^\circ$ табличное значение косинуса равно $1/2$. Подставляем все три известных значения: $$\vec a\cdot\vec b=3\cdot7\cdot\frac12$$ Сначала перемножим длины, затем умножим на половину: $$3\cdot7=21$$ $$21\cdot\frac12=\frac{21}{2}=10{,}5$$ Ответ: $10{,}5$. Положительный знак согласуется с тем, что угол между векторами острый.

Требуется скалярное произведение. Для заданных координат оно равно сумме двух произведений: первая координата первого вектора умножается на первую координату второго, вторая — на вторую. $$\vec a\cdot\vec b=a_xb_x+a_yb_y$$ Подставим координаты в формулу. Отрицательные числа заключаем в скобки, чтобы сохранить их знаки: $$\vec a\cdot\vec b=(-13)\cdot(-6)+4\cdot1$$ Вычислим два произведения отдельно. Произведение чисел разных знаков отрицательно, двух отрицательных — положительно: $$(-13)\cdot(-6)=78$$ $$4\cdot1=4$$ Сложим полученные числа.: $$78+4=82$$ Ответ: $82$. Скалярное произведение — число, а не пара координат.

Требуется скалярное произведение. Для заданных координат оно равно сумме двух произведений: первая координата первого вектора умножается на первую координату второго, вторая — на вторую. $$\vec a\cdot\vec b=a_xb_x+a_yb_y$$ Подставим координаты в формулу. Отрицательные числа заключаем в скобки, чтобы сохранить их знаки: $$\vec a\cdot\vec b=6\cdot5+4\cdot(-7)$$ Вычислим два произведения отдельно. Произведение чисел разных знаков отрицательно, двух отрицательных — положительно: $$6\cdot5=30$$ $$4\cdot(-7)=-28$$ Сложим полученные числа. Прибавление отрицательного числа заменяем вычитанием его модуля: $$30+(-28)=30-28=2$$ Ответ: $2$. Скалярное произведение — число, а не пара координат.

Требуется длина вектора, полученного из двух заданных. Сначала найдём координаты этого вектора: умножение на число и сложение векторов выполняются отдельно для каждой координаты. Обозначим искомый вектор через $\vec w=5\vec a+1\vec b$. Его первая координата вычисляется из первых координат $\vec a$ и $\vec b$: $$w_x=5\cdot1+1\cdot5=5+5=10$$ Так же вычислим вторую координату. Если вычитаем отрицательное число, это равносильно прибавлению положительного: $$w_y=5\cdot5+1\cdot(-1)=25+(-1)=24$$ $$\vec w=(10;24)$$ Теперь применяем формулу длины: она следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами, равными модулям координат: $$|\vec w|=\sqrt{w_x^2+w_y^2}$$ Возводим каждую координату в квадрат и складываем: $$10^2=100$$ $$24^2=576$$ $$100+576=676$$ Извлекаем неотрицательный квадратный корень: $$|\vec w|=\sqrt{676}=26$$ Проверка: $$26^2=676$$ Ответ: $26$.

Требуется скалярное произведение. Для заданных координат оно равно сумме двух произведений: первая координата первого вектора умножается на первую координату второго, вторая — на вторую. $$\vec a\cdot\vec b=a_xb_x+a_yb_y$$ Подставим координаты в формулу. Отрицательные числа заключаем в скобки, чтобы сохранить их знаки: $$\vec a\cdot\vec b=7\cdot8+9\cdot(-6)$$ Вычислим два произведения отдельно. Произведение чисел разных знаков отрицательно, двух отрицательных — положительно: $$7\cdot8=56$$ $$9\cdot(-6)=-54$$ Сложим полученные числа. Прибавление отрицательного числа заменяем вычитанием его модуля: $$56+(-54)=56-54=2$$ Ответ: $2$. Скалярное произведение — число, а не пара координат.

Нужно получить скалярное произведение — одно число. Координат в условии нет, зато известны длины векторов и угол между ними. Поэтому используем формулу через длины и косинус угла. $$\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\alpha$$ Для угла $60^\circ$ табличное значение косинуса равно $1/2$. Подставляем все три известных значения: $$\vec a\cdot\vec b=3\cdot5\cdot\frac12$$ Сначала перемножим длины, затем умножим на половину: $$3\cdot5=15$$ $$15\cdot\frac12=\frac{15}{2}=7{,}5$$ Ответ: $7{,}5$. Положительный знак согласуется с тем, что угол между векторами острый.

Требуется длина вектора, полученного из двух заданных. Сначала найдём координаты этого вектора: умножение на число и сложение векторов выполняются отдельно для каждой координаты. Обозначим искомый вектор через $\vec w=7\vec a+1\vec b$. Его первая координата вычисляется из первых координат $\vec a$ и $\vec b$: $$w_x=7\cdot2+1\cdot2=14+2=16$$ Так же вычислим вторую координату. Если вычитаем отрицательное число, это равносильно прибавлению положительного: $$w_y=7\cdot2+1\cdot(-2)=14+(-2)=12$$ $$\vec w=(16;12)$$ Теперь применяем формулу длины: она следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами, равными модулям координат: $$|\vec w|=\sqrt{w_x^2+w_y^2}$$ Возводим каждую координату в квадрат и складываем: $$16^2=256$$ $$12^2=144$$ $$256+144=400$$ Извлекаем неотрицательный квадратный корень: $$|\vec w|=\sqrt{400}=20$$ Проверка: $$20^2=400$$ Ответ: $20$.

Требуется скалярное произведение. Для заданных координат оно равно сумме двух произведений: первая координата первого вектора умножается на первую координату второго, вторая — на вторую. $$\vec a\cdot\vec b=a_xb_x+a_yb_y$$ Подставим координаты в формулу. Отрицательные числа заключаем в скобки, чтобы сохранить их знаки: $$\vec a\cdot\vec b=7\cdot28+11\cdot(-17)$$ Вычислим два произведения отдельно. Произведение чисел разных знаков отрицательно, двух отрицательных — положительно: $$7\cdot28=196$$ $$11\cdot(-17)=-187$$ Сложим полученные числа. Прибавление отрицательного числа заменяем вычитанием его модуля: $$196+(-187)=196-187=9$$ Ответ: $9$. Скалярное произведение — число, а не пара координат.

Требуется длина вектора, полученного из двух заданных. Сначала найдём координаты этого вектора: умножение на число и сложение векторов выполняются отдельно для каждой координаты. Обозначим искомый вектор через $\vec w=1\vec a-4\vec b$. Его первая координата вычисляется из первых координат $\vec a$ и $\vec b$: $$w_x=1\cdot25+(-4)\cdot1=25+(-4)=21$$ Так же вычислим вторую координату. Если вычитаем отрицательное число, это равносильно прибавлению положительного: $$w_y=1\cdot0+(-4)\cdot(-5)=0+20=20$$ $$\vec w=(21;20)$$ Теперь применяем формулу длины: она следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами, равными модулям координат: $$|\vec w|=\sqrt{w_x^2+w_y^2}$$ Возводим каждую координату в квадрат и складываем: $$21^2=441$$ $$20^2=400$$ $$441+400=841$$ Извлекаем неотрицательный квадратный корень: $$|\vec w|=\sqrt{841}=29$$ Проверка: $$29^2=841$$ Ответ: $29$.

Скалярное произведение нужно взять не для исходных векторов, а для их комбинаций. Сначала обозначим $\vec u=\vec a+\vec b$, $\vec v=7\vec a-\vec b$ и найдём каждую координату. $$\vec u=(2+2;1+(-4))=(4;-3)$$ $$v_x=7\cdot2-2=14-2=12$$ $$v_y=7\cdot1-(-4)=7-(-4)=11$$ $$\vec v=(12;11)$$ Требуется скалярное произведение. Для заданных координат оно равно сумме двух произведений: первая координата первого вектора умножается на первую координату второго, вторая — на вторую. $$\vec u\cdot\vec v=u_xv_x+u_yv_y$$ Подставим координаты в формулу. Отрицательные числа заключаем в скобки, чтобы сохранить их знаки: $$\vec u\cdot\vec v=4\cdot12+(-3)\cdot11$$ Вычислим два произведения отдельно. Произведение чисел разных знаков отрицательно, двух отрицательных — положительно: $$4\cdot12=48$$ $$(-3)\cdot11=-33$$ Сложим полученные числа. Прибавление отрицательного числа заменяем вычитанием его модуля: $$48+(-33)=48-33=15$$ Ответ: $15$. Скалярное произведение — число, а не пара координат.

Требуется скалярное произведение. Для заданных координат оно равно сумме двух произведений: первая координата первого вектора умножается на первую координату второго, вторая — на вторую. $$\vec a\cdot\vec b=a_xb_x+a_yb_y$$ Подставим координаты в формулу. Отрицательные числа заключаем в скобки, чтобы сохранить их знаки: $$\vec a\cdot\vec b=8\cdot4+9\cdot(-3)$$ Вычислим два произведения отдельно. Произведение чисел разных знаков отрицательно, двух отрицательных — положительно: $$8\cdot4=32$$ $$9\cdot(-3)=-27$$ Сложим полученные числа. Прибавление отрицательного числа заменяем вычитанием его модуля: $$32+(-27)=32-27=5$$ Ответ: $5$. Скалярное произведение — число, а не пара координат.

Требуется скалярное произведение. Для заданных координат оно равно сумме двух произведений: первая координата первого вектора умножается на первую координату второго, вторая — на вторую. $$\vec a\cdot\vec b=a_xb_x+a_yb_y$$ Подставим координаты в формулу. Отрицательные числа заключаем в скобки, чтобы сохранить их знаки: $$\vec a\cdot\vec b=6\cdot8+9\cdot(-5)$$ Вычислим два произведения отдельно. Произведение чисел разных знаков отрицательно, двух отрицательных — положительно: $$6\cdot8=48$$ $$9\cdot(-5)=-45$$ Сложим полученные числа. Прибавление отрицательного числа заменяем вычитанием его модуля: $$48+(-45)=48-45=3$$ Ответ: $3$. Скалярное произведение — число, а не пара координат.

Требуется длина вектора, полученного из двух заданных. Сначала найдём координаты этого вектора: умножение на число и сложение векторов выполняются отдельно для каждой координаты. Обозначим искомый вектор через $\vec w=6\vec a+3\vec b$. Его первая координата вычисляется из первых координат $\vec a$ и $\vec b$: $$w_x=6\cdot1+3\cdot2=6+6=12$$ Так же вычислим вторую координату. Если вычитаем отрицательное число, это равносильно прибавлению положительного: $$w_y=6\cdot2+3\cdot(-1)=12+(-3)=9$$ $$\vec w=(12;9)$$ Теперь применяем формулу длины: она следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами, равными модулям координат: $$|\vec w|=\sqrt{w_x^2+w_y^2}$$ Возводим каждую координату в квадрат и складываем: $$12^2=144$$ $$9^2=81$$ $$144+81=225$$ Извлекаем неотрицательный квадратный корень: $$|\vec w|=\sqrt{225}=15$$ Проверка: $$15^2=225$$ Ответ: $15$.

Требуется длина вектора, полученного из двух заданных. Сначала найдём координаты этого вектора: умножение на число и сложение векторов выполняются отдельно для каждой координаты. Обозначим искомый вектор через $\vec w=6\vec a+2\vec b$. Его первая координата вычисляется из первых координат $\vec a$ и $\vec b$: $$w_x=6\cdot1+2\cdot3=6+6=12$$ Так же вычислим вторую координату. Если вычитаем отрицательное число, это равносильно прибавлению положительного: $$w_y=6\cdot3+2\cdot(-1)=18+(-2)=16$$ $$\vec w=(12;16)$$ Теперь применяем формулу длины: она следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами, равными модулям координат: $$|\vec w|=\sqrt{w_x^2+w_y^2}$$ Возводим каждую координату в квадрат и складываем: $$12^2=144$$ $$16^2=256$$ $$144+256=400$$ Извлекаем неотрицательный квадратный корень: $$|\vec w|=\sqrt{400}=20$$ Проверка: $$20^2=400$$ Ответ: $20$.

Требуется скалярное произведение. Для заданных координат оно равно сумме двух произведений: первая координата первого вектора умножается на первую координату второго, вторая — на вторую. $$\vec a\cdot\vec b=a_xb_x+a_yb_y$$ Подставим координаты в формулу. Отрицательные числа заключаем в скобки, чтобы сохранить их знаки: $$\vec a\cdot\vec b=5\cdot14+(-7)\cdot1$$ Вычислим два произведения отдельно. Произведение чисел разных знаков отрицательно, двух отрицательных — положительно: $$5\cdot14=70$$ $$(-7)\cdot1=-7$$ Сложим полученные числа. Прибавление отрицательного числа заменяем вычитанием его модуля: $$70+(-7)=70-7=63$$ Ответ: $63$. Скалярное произведение — число, а не пара координат.

Требуется скалярное произведение. Для заданных координат оно равно сумме двух произведений: первая координата первого вектора умножается на первую координату второго, вторая — на вторую. $$\vec a\cdot\vec b=a_xb_x+a_yb_y$$ Подставим координаты в формулу. Отрицательные числа заключаем в скобки, чтобы сохранить их знаки: $$\vec a\cdot\vec b=6\cdot6+4\cdot(-8)$$ Вычислим два произведения отдельно. Произведение чисел разных знаков отрицательно, двух отрицательных — положительно: $$6\cdot6=36$$ $$4\cdot(-8)=-32$$ Сложим полученные числа. Прибавление отрицательного числа заменяем вычитанием его модуля: $$36+(-32)=36-32=4$$ Ответ: $4$. Скалярное произведение — число, а не пара координат.

Требуется длина вектора, полученного из двух заданных. Сначала найдём координаты этого вектора: умножение на число и сложение векторов выполняются отдельно для каждой координаты. Обозначим искомый вектор через $\vec w=1\vec a-24\vec b$. Его первая координата вычисляется из первых координат $\vec a$ и $\vec b$: $$w_x=1\cdot31+(-24)\cdot1=31+(-24)=7$$ Так же вычислим вторую координату. Если вычитаем отрицательное число, это равносильно прибавлению положительного: $$w_y=1\cdot0+(-24)\cdot(-1)=0+24=24$$ $$\vec w=(7;24)$$ Теперь применяем формулу длины: она следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами, равными модулям координат: $$|\vec w|=\sqrt{w_x^2+w_y^2}$$ Возводим каждую координату в квадрат и складываем: $$7^2=49$$ $$24^2=576$$ $$49+576=625$$ Извлекаем неотрицательный квадратный корень: $$|\vec w|=\sqrt{625}=25$$ Проверка: $$25^2=625$$ Ответ: $25$.

Требуется длина вектора, полученного из двух заданных. Сначала найдём координаты этого вектора: умножение на число и сложение векторов выполняются отдельно для каждой координаты. Обозначим искомый вектор через $\vec w=1\vec a+3\vec b$. Его первая координата вычисляется из первых координат $\vec a$ и $\vec b$: $$w_x=1\cdot2+3\cdot1=2+3=5$$ Так же вычислим вторую координату. Если вычитаем отрицательное число, это равносильно прибавлению положительного: $$w_y=1\cdot0+3\cdot4=0+12=12$$ $$\vec w=(5;12)$$ Теперь применяем формулу длины: она следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами, равными модулям координат: $$|\vec w|=\sqrt{w_x^2+w_y^2}$$ Возводим каждую координату в квадрат и складываем: $$5^2=25$$ $$12^2=144$$ $$25+144=169$$ Извлекаем неотрицательный квадратный корень: $$|\vec w|=\sqrt{169}=13$$ Проверка: $$13^2=169$$ Ответ: $13$.

Требуется длина вектора, полученного из двух заданных. Сначала найдём координаты этого вектора: умножение на число и сложение векторов выполняются отдельно для каждой координаты. Обозначим искомый вектор через $\vec w=8\vec a+1\vec b$. Его первая координата вычисляется из первых координат $\vec a$ и $\vec b$: $$w_x=8\cdot1+1\cdot0=8+0=8$$ Так же вычислим вторую координату. Если вычитаем отрицательное число, это равносильно прибавлению положительного: $$w_y=8\cdot1+1\cdot7=8+7=15$$ $$\vec w=(8;15)$$ Теперь применяем формулу длины: она следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами, равными модулям координат: $$|\vec w|=\sqrt{w_x^2+w_y^2}$$ Возводим каждую координату в квадрат и складываем: $$8^2=64$$ $$15^2=225$$ $$64+225=289$$ Извлекаем неотрицательный квадратный корень: $$|\vec w|=\sqrt{289}=17$$ Проверка: $$17^2=289$$ Ответ: $17$.

Требуется скалярное произведение. Для заданных координат оно равно сумме двух произведений: первая координата первого вектора умножается на первую координату второго, вторая — на вторую. $$\vec a\cdot\vec b=a_xb_x+a_yb_y$$ Подставим координаты в формулу. Отрицательные числа заключаем в скобки, чтобы сохранить их знаки: $$\vec a\cdot\vec b=14\cdot5+(-2)\cdot(-8)$$ Вычислим два произведения отдельно. Произведение чисел разных знаков отрицательно, двух отрицательных — положительно: $$14\cdot5=70$$ $$(-2)\cdot(-8)=16$$ Сложим полученные числа.: $$70+16=86$$ Ответ: $86$. Скалярное произведение — число, а не пара координат.