Даны векторы $\vec{a}(2; 0)$ и $\vec{b}(1; 4).$ Найдите длину вектора $\vec{a}+3\vec{b}.$
Ответ: $13$.
Решение
Требуется длина вектора, полученного из двух заданных. Сначала найдём координаты этого вектора: умножение на число и сложение векторов выполняются отдельно для каждой координаты.
Обозначим искомый вектор через $\vec w=1\vec a+3\vec b$. Его первая координата вычисляется из первых координат $\vec a$ и $\vec b$:
$$w_x=1\cdot2+3\cdot1=2+3=5$$
Так же вычислим вторую координату. Если вычитаем отрицательное число, это равносильно прибавлению положительного:
$$w_y=1\cdot0+3\cdot4=0+12=12$$
$$\vec w=(5;12)$$
Теперь применяем формулу длины: она следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами, равными модулям координат:
$$|\vec w|=\sqrt{w_x^2+w_y^2}$$
Возводим каждую координату в квадрат и складываем:
$$5^2=25$$
$$12^2=144$$
$$25+144=169$$
Извлекаем неотрицательный квадратный корень:
$$|\vec w|=\sqrt{169}=13$$
Проверка:
$$13^2=169$$
Ответ: $13$.