Даны векторы $\vec{a}(1; 2)$ и $\vec{b}(2; -1).$ Найдите длину вектора $8\vec{a}+4\vec{b}.$
Ответ: $20$.
Решение
Требуется длина вектора, полученного из двух заданных. Сначала найдём координаты этого вектора: умножение на число и сложение векторов выполняются отдельно для каждой координаты.
Обозначим искомый вектор через $\vec w=8\vec a+4\vec b$. Его первая координата вычисляется из первых координат $\vec a$ и $\vec b$:
$$w_x=8\cdot1+4\cdot2=8+8=16$$
Так же вычислим вторую координату. Если вычитаем отрицательное число, это равносильно прибавлению положительного:
$$w_y=8\cdot2+4\cdot(-1)=16+(-4)=12$$
$$\vec w=(16;12)$$
Теперь применяем формулу длины: она следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами, равными модулям координат:
$$|\vec w|=\sqrt{w_x^2+w_y^2}$$
Возводим каждую координату в квадрат и складываем:
$$16^2=256$$
$$12^2=144$$
$$256+144=400$$
Извлекаем неотрицательный квадратный корень:
$$|\vec w|=\sqrt{400}=20$$
Проверка:
$$20^2=400$$
Ответ: $20$.