Даны векторы $\vec{a}(3; 4)$ и $\vec{b}(4; -3).$ Найдите длину вектора $4\vec{a}+3\vec{b}.$
Ответ: $25$.
Решение
Требуется длина вектора, полученного из двух заданных. Сначала найдём координаты этого вектора: умножение на число и сложение векторов выполняются отдельно для каждой координаты.
Обозначим искомый вектор через $\vec w=4\vec a+3\vec b$. Его первая координата вычисляется из первых координат $\vec a$ и $\vec b$:
$$w_x=4\cdot3+3\cdot4=12+12=24$$
Так же вычислим вторую координату. Если вычитаем отрицательное число, это равносильно прибавлению положительного:
$$w_y=4\cdot4+3\cdot(-3)=16+(-9)=7$$
$$\vec w=(24;7)$$
Теперь применяем формулу длины: она следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами, равными модулям координат:
$$|\vec w|=\sqrt{w_x^2+w_y^2}$$
Возводим каждую координату в квадрат и складываем:
$$24^2=576$$
$$7^2=49$$
$$576+49=625$$
Извлекаем неотрицательный квадратный корень:
$$|\vec w|=\sqrt{625}=25$$
Проверка:
$$25^2=625$$
Ответ: $25$.