Длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны 3 и 5, а угол между ними равен $60^{\circ}.$ Найдите скалярное произведение $\vec{a}\cdot \vec{b}.$
Ответ: $7{,}5$.
Решение
Нужно получить скалярное произведение — одно число. Координат в условии нет, зато известны длины векторов и угол между ними. Поэтому используем формулу через длины и косинус угла.
$$\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\alpha$$
Для угла $60^\circ$ табличное значение косинуса равно $1/2$. Подставляем все три известных значения:
$$\vec a\cdot\vec b=3\cdot5\cdot\frac12$$
Сначала перемножим длины, затем умножим на половину:
$$3\cdot5=15$$
$$15\cdot\frac12=\frac{15}{2}=7{,}5$$
Ответ: $7{,}5$. Положительный знак согласуется с тем, что угол между векторами острый.