Скалярное произведение — задание №2 ЕГЭ по математике

Нужно получить скалярное произведение — одно число. Координат в условии нет, зато известны длины векторов и угол между ними. Поэтому используем формулу через длины и косинус угла. $$\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\alpha$$ Для угла $60^\circ$ табличное значение косинуса равно $1/2$. Подставляем все три известных значения: $$\vec a\cdot\vec b=3\cdot7\cdot\frac12$$ Сначала перемножим длины, затем умножим на половину: $$3\cdot7=21$$ $$21\cdot\frac12=\frac{21}{2}=10{,}5$$ Ответ: $10{,}5$. Положительный знак согласуется с тем, что угол между векторами острый.

Требуется скалярное произведение. Для заданных координат оно равно сумме двух произведений: первая координата первого вектора умножается на первую координату второго, вторая — на вторую. $$\vec a\cdot\vec b=a_xb_x+a_yb_y$$ Подставим координаты в формулу. Отрицательные числа заключаем в скобки, чтобы сохранить их знаки: $$\vec a\cdot\vec b=(-13)\cdot(-6)+4\cdot1$$ Вычислим два произведения отдельно. Произведение чисел разных знаков отрицательно, двух отрицательных — положительно: $$(-13)\cdot(-6)=78$$ $$4\cdot1=4$$ Сложим полученные числа.: $$78+4=82$$ Ответ: $82$. Скалярное произведение — число, а не пара координат.

Требуется скалярное произведение. Для заданных координат оно равно сумме двух произведений: первая координата первого вектора умножается на первую координату второго, вторая — на вторую. $$\vec a\cdot\vec b=a_xb_x+a_yb_y$$ Подставим координаты в формулу. Отрицательные числа заключаем в скобки, чтобы сохранить их знаки: $$\vec a\cdot\vec b=6\cdot5+4\cdot(-7)$$ Вычислим два произведения отдельно. Произведение чисел разных знаков отрицательно, двух отрицательных — положительно: $$6\cdot5=30$$ $$4\cdot(-7)=-28$$ Сложим полученные числа. Прибавление отрицательного числа заменяем вычитанием его модуля: $$30+(-28)=30-28=2$$ Ответ: $2$. Скалярное произведение — число, а не пара координат.

Требуется скалярное произведение. Для заданных координат оно равно сумме двух произведений: первая координата первого вектора умножается на первую координату второго, вторая — на вторую. $$\vec a\cdot\vec b=a_xb_x+a_yb_y$$ Подставим координаты в формулу. Отрицательные числа заключаем в скобки, чтобы сохранить их знаки: $$\vec a\cdot\vec b=7\cdot8+9\cdot(-6)$$ Вычислим два произведения отдельно. Произведение чисел разных знаков отрицательно, двух отрицательных — положительно: $$7\cdot8=56$$ $$9\cdot(-6)=-54$$ Сложим полученные числа. Прибавление отрицательного числа заменяем вычитанием его модуля: $$56+(-54)=56-54=2$$ Ответ: $2$. Скалярное произведение — число, а не пара координат.

Нужно получить скалярное произведение — одно число. Координат в условии нет, зато известны длины векторов и угол между ними. Поэтому используем формулу через длины и косинус угла. $$\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\alpha$$ Для угла $60^\circ$ табличное значение косинуса равно $1/2$. Подставляем все три известных значения: $$\vec a\cdot\vec b=3\cdot5\cdot\frac12$$ Сначала перемножим длины, затем умножим на половину: $$3\cdot5=15$$ $$15\cdot\frac12=\frac{15}{2}=7{,}5$$ Ответ: $7{,}5$. Положительный знак согласуется с тем, что угол между векторами острый.

Требуется скалярное произведение. Для заданных координат оно равно сумме двух произведений: первая координата первого вектора умножается на первую координату второго, вторая — на вторую. $$\vec a\cdot\vec b=a_xb_x+a_yb_y$$ Подставим координаты в формулу. Отрицательные числа заключаем в скобки, чтобы сохранить их знаки: $$\vec a\cdot\vec b=7\cdot28+11\cdot(-17)$$ Вычислим два произведения отдельно. Произведение чисел разных знаков отрицательно, двух отрицательных — положительно: $$7\cdot28=196$$ $$11\cdot(-17)=-187$$ Сложим полученные числа. Прибавление отрицательного числа заменяем вычитанием его модуля: $$196+(-187)=196-187=9$$ Ответ: $9$. Скалярное произведение — число, а не пара координат.

Скалярное произведение нужно взять не для исходных векторов, а для их комбинаций. Сначала обозначим $\vec u=\vec a+\vec b$, $\vec v=7\vec a-\vec b$ и найдём каждую координату. $$\vec u=(2+2;1+(-4))=(4;-3)$$ $$v_x=7\cdot2-2=14-2=12$$ $$v_y=7\cdot1-(-4)=7-(-4)=11$$ $$\vec v=(12;11)$$ Требуется скалярное произведение. Для заданных координат оно равно сумме двух произведений: первая координата первого вектора умножается на первую координату второго, вторая — на вторую. $$\vec u\cdot\vec v=u_xv_x+u_yv_y$$ Подставим координаты в формулу. Отрицательные числа заключаем в скобки, чтобы сохранить их знаки: $$\vec u\cdot\vec v=4\cdot12+(-3)\cdot11$$ Вычислим два произведения отдельно. Произведение чисел разных знаков отрицательно, двух отрицательных — положительно: $$4\cdot12=48$$ $$(-3)\cdot11=-33$$ Сложим полученные числа. Прибавление отрицательного числа заменяем вычитанием его модуля: $$48+(-33)=48-33=15$$ Ответ: $15$. Скалярное произведение — число, а не пара координат.

Требуется скалярное произведение. Для заданных координат оно равно сумме двух произведений: первая координата первого вектора умножается на первую координату второго, вторая — на вторую. $$\vec a\cdot\vec b=a_xb_x+a_yb_y$$ Подставим координаты в формулу. Отрицательные числа заключаем в скобки, чтобы сохранить их знаки: $$\vec a\cdot\vec b=8\cdot4+9\cdot(-3)$$ Вычислим два произведения отдельно. Произведение чисел разных знаков отрицательно, двух отрицательных — положительно: $$8\cdot4=32$$ $$9\cdot(-3)=-27$$ Сложим полученные числа. Прибавление отрицательного числа заменяем вычитанием его модуля: $$32+(-27)=32-27=5$$ Ответ: $5$. Скалярное произведение — число, а не пара координат.

Требуется скалярное произведение. Для заданных координат оно равно сумме двух произведений: первая координата первого вектора умножается на первую координату второго, вторая — на вторую. $$\vec a\cdot\vec b=a_xb_x+a_yb_y$$ Подставим координаты в формулу. Отрицательные числа заключаем в скобки, чтобы сохранить их знаки: $$\vec a\cdot\vec b=6\cdot8+9\cdot(-5)$$ Вычислим два произведения отдельно. Произведение чисел разных знаков отрицательно, двух отрицательных — положительно: $$6\cdot8=48$$ $$9\cdot(-5)=-45$$ Сложим полученные числа. Прибавление отрицательного числа заменяем вычитанием его модуля: $$48+(-45)=48-45=3$$ Ответ: $3$. Скалярное произведение — число, а не пара координат.

Требуется скалярное произведение. Для заданных координат оно равно сумме двух произведений: первая координата первого вектора умножается на первую координату второго, вторая — на вторую. $$\vec a\cdot\vec b=a_xb_x+a_yb_y$$ Подставим координаты в формулу. Отрицательные числа заключаем в скобки, чтобы сохранить их знаки: $$\vec a\cdot\vec b=5\cdot14+(-7)\cdot1$$ Вычислим два произведения отдельно. Произведение чисел разных знаков отрицательно, двух отрицательных — положительно: $$5\cdot14=70$$ $$(-7)\cdot1=-7$$ Сложим полученные числа. Прибавление отрицательного числа заменяем вычитанием его модуля: $$70+(-7)=70-7=63$$ Ответ: $63$. Скалярное произведение — число, а не пара координат.

Требуется скалярное произведение. Для заданных координат оно равно сумме двух произведений: первая координата первого вектора умножается на первую координату второго, вторая — на вторую. $$\vec a\cdot\vec b=a_xb_x+a_yb_y$$ Подставим координаты в формулу. Отрицательные числа заключаем в скобки, чтобы сохранить их знаки: $$\vec a\cdot\vec b=6\cdot6+4\cdot(-8)$$ Вычислим два произведения отдельно. Произведение чисел разных знаков отрицательно, двух отрицательных — положительно: $$6\cdot6=36$$ $$4\cdot(-8)=-32$$ Сложим полученные числа. Прибавление отрицательного числа заменяем вычитанием его модуля: $$36+(-32)=36-32=4$$ Ответ: $4$. Скалярное произведение — число, а не пара координат.

Требуется скалярное произведение. Для заданных координат оно равно сумме двух произведений: первая координата первого вектора умножается на первую координату второго, вторая — на вторую. $$\vec a\cdot\vec b=a_xb_x+a_yb_y$$ Подставим координаты в формулу. Отрицательные числа заключаем в скобки, чтобы сохранить их знаки: $$\vec a\cdot\vec b=14\cdot5+(-2)\cdot(-8)$$ Вычислим два произведения отдельно. Произведение чисел разных знаков отрицательно, двух отрицательных — положительно: $$14\cdot5=70$$ $$(-2)\cdot(-8)=16$$ Сложим полученные числа.: $$70+16=86$$ Ответ: $86$. Скалярное произведение — число, а не пара координат.

Требуется скалярное произведение. Для заданных координат оно равно сумме двух произведений: первая координата первого вектора умножается на первую координату второго, вторая — на вторую. $$\vec a\cdot\vec b=a_xb_x+a_yb_y$$ Подставим координаты в формулу. Отрицательные числа заключаем в скобки, чтобы сохранить их знаки: $$\vec a\cdot\vec b=5\cdot4+3\cdot(-6)$$ Вычислим два произведения отдельно. Произведение чисел разных знаков отрицательно, двух отрицательных — положительно: $$5\cdot4=20$$ $$3\cdot(-6)=-18$$ Сложим полученные числа. Прибавление отрицательного числа заменяем вычитанием его модуля: $$20+(-18)=20-18=2$$ Ответ: $2$. Скалярное произведение — число, а не пара координат.

Требуется скалярное произведение. Для заданных координат оно равно сумме двух произведений: первая координата первого вектора умножается на первую координату второго, вторая — на вторую. $$\vec a\cdot\vec b=a_xb_x+a_yb_y$$ Подставим координаты в формулу. Отрицательные числа заключаем в скобки, чтобы сохранить их знаки: $$\vec a\cdot\vec b=(-3)\cdot1+5\cdot13$$ Вычислим два произведения отдельно. Произведение чисел разных знаков отрицательно, двух отрицательных — положительно: $$(-3)\cdot1=-3$$ $$5\cdot13=65$$ Сложим полученные числа.: $$-3+65=62$$ Ответ: $62$. Скалярное произведение — число, а не пара координат.

Требуется скалярное произведение. Для заданных координат оно равно сумме двух произведений: первая координата первого вектора умножается на первую координату второго, вторая — на вторую. $$\vec a\cdot\vec b=a_xb_x+a_yb_y$$ Подставим координаты в формулу. Отрицательные числа заключаем в скобки, чтобы сохранить их знаки: $$\vec a\cdot\vec b=5\cdot8+4\cdot(-9)$$ Вычислим два произведения отдельно. Произведение чисел разных знаков отрицательно, двух отрицательных — положительно: $$5\cdot8=40$$ $$4\cdot(-9)=-36$$ Сложим полученные числа. Прибавление отрицательного числа заменяем вычитанием его модуля: $$40+(-36)=40-36=4$$ Ответ: $4$. Скалярное произведение — число, а не пара координат.