Даны векторы $\vec{a}(2; 1)$ и $\vec{b}(2; -4).$ Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a}+\vec{b}$ и $7\vec{a}-\vec{b}.$
Ответ: $15$.
Решение
Скалярное произведение нужно взять не для исходных векторов, а для их комбинаций. Сначала обозначим $\vec u=\vec a+\vec b$, $\vec v=7\vec a-\vec b$ и найдём каждую координату.
$$\vec u=(2+2;1+(-4))=(4;-3)$$
$$v_x=7\cdot2-2=14-2=12$$
$$v_y=7\cdot1-(-4)=7-(-4)=11$$
$$\vec v=(12;11)$$
Требуется скалярное произведение. Для заданных координат оно равно сумме двух произведений: первая координата первого вектора умножается на первую координату второго, вторая — на вторую.
$$\vec u\cdot\vec v=u_xv_x+u_yv_y$$
Подставим координаты в формулу. Отрицательные числа заключаем в скобки, чтобы сохранить их знаки:
$$\vec u\cdot\vec v=4\cdot12+(-3)\cdot11$$
Вычислим два произведения отдельно. Произведение чисел разных знаков отрицательно, двух отрицательных — положительно:
$$4\cdot12=48$$
$$(-3)\cdot11=-33$$
Сложим полученные числа. Прибавление отрицательного числа заменяем вычитанием его модуля:
$$48+(-33)=48-33=15$$
Ответ: $15$. Скалярное произведение — число, а не пара координат.