Сплавы и смеси — задание №10 ЕГЭ по математике

Шаг 1. Обозначаем массы и переводим проценты в доли. Пусть масса меньшего сплава равна v кг. Тогда масса большего равна v+90 кг. При смешивании складываются и массы сплавов, и содержащаяся в них медь. $$m_1=v$$ $$m_2=v + 90$$ $$m_{\text{смесь}}=2 v + 90$$ Процент — одна сотая часть. Поэтому доли меди равны: $$60\%=\frac{60}{100}=0{,}6$$ $$10\%=\frac{10}{100}=0{,}1$$ $$20\%=\frac{20}{100}=0{,}2$$ Шаг 2. Записываем сохранение массы меди. Масса меди в каждом сплаве равна доле меди, умноженной на массу сплава. Сумма этих двух масс равна массе меди в смеси: $$0{,}6(v)+0{,}1(v + 90)=0{,}2(2 v + 90)$$ Шаг 3. Раскрываем каждую скобку: умножаем долю на оба слагаемых. $$0{,}6(v)=0{,}6\cdot1v+0{,}6\cdot0=\frac{3 v}{5}$$ $$0{,}1(v + 90)=0{,}1\cdot1v+0{,}1\cdot90=\frac{v}{10} + 9$$ $$0{,}2(2 v + 90)=0{,}2\cdot2v+0{,}2\cdot90=\frac{2 v}{5} + 18$$ Складываем слагаемые в левой части: $$\frac{7 v}{10} + 9=\frac{2 v}{5} + 18$$ Переносим все слагаемые с v влево, все числа вправо: $$\frac{3 v}{10}=9$$ Делим обе части на ненулевой коэффициент при v: $$v=\frac{9}{\frac{3}{10}}=30$$ Шаг 4. Находим обе массы и массу всего третьего сплава: $$m_1=30=30$$ $$m_2=30+90=120$$ $$m_{\text{смесь}}=30+120=150$$ Проверяем массу меди до и после смешивания: $$0{,}6\cdot30+0{,}1\cdot120=30$$ $$0{,}2\cdot150=30$$ Обе массы меди равны, все массы положительны. Спрашивается общая масса смеси. Ответ: $150$ кг.

Шаг 1. Обозначаем массы и переводим проценты в доли. Пусть масса меньшего сплава равна v кг. Тогда масса большего равна v+10 кг. При смешивании складываются и массы сплавов, и содержащаяся в них медь. $$m_1=v + 10$$ $$m_2=v$$ $$m_{\text{смесь}}=2 v + 10$$ Процент — одна сотая часть. Поэтому доли меди равны: $$40\%=\frac{40}{100}=0{,}4$$ $$25\%=\frac{25}{100}=0{,}25$$ $$35\%=\frac{35}{100}=0{,}35$$ Шаг 2. Записываем сохранение массы меди. Масса меди в каждом сплаве равна доле меди, умноженной на массу сплава. Сумма этих двух масс равна массе меди в смеси: $$0{,}4(v + 10)+0{,}25(v)=0{,}35(2 v + 10)$$ Шаг 3. Раскрываем каждую скобку: умножаем долю на оба слагаемых. $$0{,}4(v + 10)=0{,}4\cdot1v+0{,}4\cdot10=\frac{2 v}{5} + 4$$ $$0{,}25(v)=0{,}25\cdot1v+0{,}25\cdot0=\frac{v}{4}$$ $$0{,}35(2 v + 10)=0{,}35\cdot2v+0{,}35\cdot10=\frac{7 v}{10} + \frac{7}{2}$$ Складываем слагаемые в левой части: $$\frac{13 v}{20} + 4=\frac{7 v}{10} + \frac{7}{2}$$ Переносим все слагаемые с v влево, все числа вправо: $$- \frac{v}{20}=- \frac{1}{2}$$ Делим обе части на ненулевой коэффициент при v: $$v=\frac{- \frac{1}{2}}{- \frac{1}{20}}=10$$ Шаг 4. Находим обе массы и массу всего третьего сплава: $$m_1=10+10=20$$ $$m_2=10=10$$ $$m_{\text{смесь}}=20+10=30$$ Проверяем массу меди до и после смешивания: $$0{,}4\cdot20+0{,}25\cdot10=10{,}5$$ $$0{,}35\cdot30=10{,}5$$ Обе массы меди равны, все массы положительны. Спрашивается общая масса смеси. Ответ: $30$ кг.

Шаг 1. Обозначаем неизвестные концентрации через p и q процентов. Это проценты, поэтому доли кислоты равны p/100 и q/100. При смешивании масса кислоты сохраняется. Шаг 2. Используем условие о равных массах. Возьмём по m кг из каждого сосуда. Тогда кислоты будет mp/100+mq/100, а общая масса — 2m кг. Доля кислоты в смеси равна 36/100: $$\frac{mp/100+mq/100}{2m}=\frac{36}{100}$$ Умножаем обе части на 100 и сокращаем общий положительный множитель m: $$\frac{p+q}{2}=36$$ Умножаем на 2 и выражаем q: $$p+q=36\cdot2=72$$ $$q=72-p$$ Шаг 3. Используем условие о смешивании всех 40 и 25 кг. Общая масса: $$40+25=65$$ Масса кислоты в смеси равна 30% от 65 кг: $$m_{\text{кислоты}}=\frac{30}{100}\cdot65$$ Эта же масса получается сложением кислоты из двух сосудов: $$40\frac p{100}+25\frac q{100}=65\frac{30}{100}$$ Умножаем все члены на 100, чтобы убрать знаменатели: $$40p+25q=65\cdot30=1950$$ Шаг 4. Подставляем q=72−p и раскрываем скобки: $$40p+25(72-p)=1950$$ $$40p+25\cdot72-25p=1950$$ $$25\cdot72=1800$$ $$15p+1800=1950$$ Вычитаем 1800 из обеих частей и делим на 15: $$15p=1950-1800=150$$ $$p=\frac{150}{15}=10$$ Шаг 5. Проверяем обе концентрации: $$q=72-10=62$$ $$\frac{10+62}{2}=36$$ $$40\cdot0{,}10+25\cdot0{,}62=4+15{,}5=19{,}5$$ $$\frac{19{,}5}{65}=0{,}30=30\%$$ Оба условия выполнены. Вопрос относится к первому сосуду, то есть к p. Ответ: $10$ %.

Шаг 1. Обозначаем массы и переводим проценты в доли. Пусть масса меньшего сплава равна v кг. Тогда масса большего равна v+30 кг. При смешивании складываются и массы сплавов, и содержащаяся в них медь. $$m_1=v + 30$$ $$m_2=v$$ $$m_{\text{смесь}}=2 v + 30$$ Процент — одна сотая часть. Поэтому доли меди равны: $$45\%=\frac{45}{100}=0{,}45$$ $$20\%=\frac{20}{100}=0{,}2$$ $$40\%=\frac{40}{100}=0{,}4$$ Шаг 2. Записываем сохранение массы меди. Масса меди в каждом сплаве равна доле меди, умноженной на массу сплава. Сумма этих двух масс равна массе меди в смеси: $$0{,}45(v + 30)+0{,}2(v)=0{,}4(2 v + 30)$$ Шаг 3. Раскрываем каждую скобку: умножаем долю на оба слагаемых. $$0{,}45(v + 30)=0{,}45\cdot1v+0{,}45\cdot30=\frac{9 v}{20} + \frac{27}{2}$$ $$0{,}2(v)=0{,}2\cdot1v+0{,}2\cdot0=\frac{v}{5}$$ $$0{,}4(2 v + 30)=0{,}4\cdot2v+0{,}4\cdot30=\frac{4 v}{5} + 12$$ Складываем слагаемые в левой части: $$\frac{13 v}{20} + \frac{27}{2}=\frac{4 v}{5} + 12$$ Переносим все слагаемые с v влево, все числа вправо: $$- \frac{3 v}{20}=- \frac{3}{2}$$ Делим обе части на ненулевой коэффициент при v: $$v=\frac{- \frac{3}{2}}{- \frac{3}{20}}=10$$ Шаг 4. Находим обе массы и массу всего третьего сплава: $$m_1=10+30=40$$ $$m_2=10=10$$ $$m_{\text{смесь}}=40+10=50$$ Проверяем массу меди до и после смешивания: $$0{,}45\cdot40+0{,}2\cdot10=20$$ $$0{,}4\cdot50=20$$ Обе массы меди равны, все массы положительны. Спрашивается общая масса смеси. Ответ: $50$ кг.