Движение по воде — задание №10 ЕГЭ по математике

Шаг 1. Обозначаем неизвестное и объясняем скорости. Нужно найти собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде. Обозначим её v, в км/ч. По течению вода помогает судну: скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения. Против течения вода мешает: скорости вычитаются. $$v_{\text{по}}=v + 2$$ $$v_{\text{против}}=v - 2$$ Обе скорости движения должны быть положительными. Поэтому неизвестное обязано удовлетворять ограничению: $$v>2$$ Шаг 2. Определяем время движения и составляем уравнение. Из общего времени вычитаем стоянку. Во время стоянки судно не проходит путь: $$13-4=9$$ Время каждого участка равно пути, делённому на скорость. Весь путь туда и обратно включает два участка одинаковой длины: $$t_{\text{по}}=\frac{80}{v + 2}$$ $$t_{\text{против}}=\frac{80}{v - 2}$$ Их времена складываются: $$\frac{80}{v + 2}+\frac{80}{v - 2}=9$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение двух скоростей. Оно положительно на выбранной области: $$(v + 2)(v - 2)=v^2-v\cdot2+2v-2^2$$ Противоположные слагаемые с v уничтожаются. Квадрат известного числа равен: $$2^2=2\cdot2=4$$ $$(v + 2)(v - 2)=v^{2} - 4$$ У каждой дроби домножаем числитель на недостающий множитель, затем объединяем числители: $$\frac{80(v - 2)+80(v + 2)}{v^{2} - 4}=9$$ Раскрываем скобки в числителе. В сумме времён слагаемые с противоположными знаками уничтожаются: $$80(v - 2)+80(v + 2)=80v-80\cdot2+80v+80\cdot2$$ Вычисляем числовые произведения и складываем одинаковые слагаемые: $$80\cdot2=160$$ $$80v-80\cdot2+80v+80\cdot2=160 v$$ Умножаем обе части на положительный общий знаменатель: $$160 v=9(v^{2} - 4)$$ Раскрываем скобки справа: $$160 v=9v^2-9\cdot4$$ $$9\cdot4=36$$ $$160 v=9 v^{2} - 36$$ Переносим всё влево, чтобы получить уравнение с нулём справа: $$9 v^{2} - 160 v - 36=0$$ Шаг 4. Решаем квадратное уравнение. Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=9,\qquad B=-160,\qquad C=-36$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-160)^2=25600$$ $$4AC=4\cdot(9)\cdot(-36)=-1296$$ $$D=B^2-4AC=25600-(-1296)=26896$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{26896}=164$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-160)+164}{2\cdot(9)}=\frac{324}{18}=18$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-160)-164}{2\cdot(9)}=\frac{-4}{18}=- \frac{2}{9}$$ Корень $v=- \frac{2}{9}$ нарушает ограничение на скорость, поэтому исключается. Корень $v=18$ удовлетворяет ограничению и подходит. Шаг 5. Подставляем скорость и проверяем время каждого участка. $$v_{\text{по}}=18+2=20$$ $$v_{\text{против}}=18-2=16$$ $$t_{\text{по}}=\frac{80}{20}=4$$ $$t_{\text{против}}=\frac{80}{16}=5$$ $$4+5=9$$ Возвращаем время стоянки: $$9+4=13$$ Все данные времени совпали. Мы нашли собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде, как спрашивается в условии. Ответ: $18$ км/ч.

Шаг 1. Обозначаем неизвестное и объясняем скорости. Нужно найти собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде. Обозначим её v, в км/ч. По течению вода помогает судну: скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения. Против течения вода мешает: скорости вычитаются. $$v_{\text{по}}=v + 3$$ $$v_{\text{против}}=v - 3$$ Обе скорости движения должны быть положительными. Поэтому неизвестное обязано удовлетворять ограничению: $$v>3$$ Шаг 2. Определяем время движения и составляем уравнение. Из общего времени вычитаем стоянку. Во время стоянки судно не проходит путь: $$54-6=48$$ Время каждого участка равно пути, делённому на скорость. Весь путь туда и обратно включает два участка одинаковой длины: $$t_{\text{по}}=\frac{567}{v + 3}$$ $$t_{\text{против}}=\frac{567}{v - 3}$$ Их времена складываются: $$\frac{567}{v + 3}+\frac{567}{v - 3}=48$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение двух скоростей. Оно положительно на выбранной области: $$(v + 3)(v - 3)=v^2-v\cdot3+3v-3^2$$ Противоположные слагаемые с v уничтожаются. Квадрат известного числа равен: $$3^2=3\cdot3=9$$ $$(v + 3)(v - 3)=v^{2} - 9$$ У каждой дроби домножаем числитель на недостающий множитель, затем объединяем числители: $$\frac{567(v - 3)+567(v + 3)}{v^{2} - 9}=48$$ Раскрываем скобки в числителе. В сумме времён слагаемые с противоположными знаками уничтожаются: $$567(v - 3)+567(v + 3)=567v-567\cdot3+567v+567\cdot3$$ Вычисляем числовые произведения и складываем одинаковые слагаемые: $$567\cdot3=1701$$ $$567v-567\cdot3+567v+567\cdot3=1134 v$$ Умножаем обе части на положительный общий знаменатель: $$1134 v=48(v^{2} - 9)$$ Раскрываем скобки справа: $$1134 v=48v^2-48\cdot9$$ $$48\cdot9=432$$ $$1134 v=48 v^{2} - 432$$ Переносим всё влево, чтобы получить уравнение с нулём справа: $$48 v^{2} - 1134 v - 432=0$$ Шаг 4. Решаем квадратное уравнение. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 6. $$8 v^{2} - 189 v - 72=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=8,\qquad B=-189,\qquad C=-72$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-189)^2=35721$$ $$4AC=4\cdot(8)\cdot(-72)=-2304$$ $$D=B^2-4AC=35721-(-2304)=38025$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{38025}=195$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-189)+195}{2\cdot(8)}=\frac{384}{16}=24$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-189)-195}{2\cdot(8)}=\frac{-6}{16}=- \frac{3}{8}$$ Корень $v=- \frac{3}{8}$ нарушает ограничение на скорость, поэтому исключается. Корень $v=24$ удовлетворяет ограничению и подходит. Шаг 5. Подставляем скорость и проверяем время каждого участка. $$v_{\text{по}}=24+3=27$$ $$v_{\text{против}}=24-3=21$$ $$t_{\text{по}}=\frac{567}{27}=21$$ $$t_{\text{против}}=\frac{567}{21}=27$$ $$21+27=48$$ Возвращаем время стоянки: $$48+6=54$$ Все данные времени совпали. Мы нашли собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде, как спрашивается в условии. Ответ: $24$ км/ч.

Шаг 1. Обозначаем путь в одну сторону через d, в километрах. Спрашивается путь за весь рейс: туда и обратно. После нахождения d нужно будет умножить его на 2. Шаг 2. Определяем скорости и время движения. По течению скорости складываются, против течения вычитаются: $$v_{\text{по}}=27+1=28$$ $$v_{\text{против}}=27-1=26$$ Из 32 ч рейса 5 ч занимает стоянка. Для самого движения остаётся: $$32-5=27$$ Время равно пути, делённому на скорость, поэтому два времени в сумме дают 27 ч: $$\frac d{28}+\frac d{26}=27$$ Шаг 3. Умножаем обе части на общий знаменатель 28·26. Числитель первой дроби умножается на 26, второй — на 28: $$26d+28d=27\cdot28\cdot26$$ Складываем коэффициенты и вычисляем правую часть: $$26+28=54$$ $$28\cdot26=728$$ $$27\cdot728=19656$$ $$54d=19656$$ Делим обе части на 54: $$d=\frac{19656}{54}=364$$ Шаг 4. Проверяем времена и находим весь путь: $$\frac{364}{28}=13$$ $$\frac{364}{26}=14$$ $$13+14+5=32$$ Время совпало с условием. Путь туда и обратно: $$S=2d=2\cdot364=728$$ Ответ: $728$ км.

Шаг 1. Обозначаем неизвестное и объясняем скорости. Нужно найти скорость течения. Обозначим её v, в км/ч. По течению вода помогает судну: скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения. Против течения вода мешает: скорости вычитаются. $$v_{\text{по}}=v + 15$$ $$v_{\text{против}}=15 - v$$ Обе скорости движения должны быть положительными. Поэтому неизвестное обязано удовлетворять ограничению: $$0<v<15$$ Шаг 2. Определяем время движения и составляем уравнение. Против течения судно движется медленнее и тратит больше времени. По условию это время больше времени обратного движения на 14 ч. Поэтому вычитаем меньшее время из большего: $$\frac{280}{15 - v}-\frac{280}{v + 15}=14$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение двух скоростей. Оно положительно на выбранной области: $$(v + 15)(15 - v)=15^2-15v+15v-v^2$$ Противоположные слагаемые с v уничтожаются. Квадрат известного числа равен: $$15^2=15\cdot15=225$$ $$(v + 15)(15 - v)=225 - v^{2}$$ У каждой дроби домножаем числитель на недостающий множитель, затем объединяем числители: $$\frac{280(v + 15)-280(15 - v)}{225 - v^{2}}=14$$ Раскрываем скобки в числителе. Перед второй скобкой стоит минус, поэтому меняем знаки всех её слагаемых: $$280(v + 15)-280(15 - v)=280\cdot15+280v-280\cdot15+280v$$ Вычисляем числовые произведения и складываем одинаковые слагаемые: $$280\cdot15=4200$$ $$280\cdot15+280v-280\cdot15+280v=560 v$$ Умножаем обе части на положительный общий знаменатель: $$560 v=14(225 - v^{2})$$ Раскрываем скобки справа: $$560 v=14\cdot225-14v^2$$ $$14\cdot225=3150$$ $$560 v=3150 - 14 v^{2}$$ Переносим всё влево, чтобы получить уравнение с нулём справа: $$- 14 v^{2} - 560 v + 3150=0$$ Шаг 4. Решаем квадратное уравнение. Делим каждый член на ненулевой общий множитель -14. $$v^{2} + 40 v - 225=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=40,\qquad C=-225$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(40)^2=1600$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-225)=-900$$ $$D=B^2-4AC=1600-(-900)=2500$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{2500}=50$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(40)+50}{2\cdot(1)}=\frac{10}{2}=5$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(40)-50}{2\cdot(1)}=\frac{-90}{2}=-45$$ Корень $v=-45$ нарушает ограничение на скорость, поэтому исключается. Корень $v=5$ удовлетворяет ограничению и подходит. Шаг 5. Подставляем скорость и проверяем время каждого участка. $$v_{\text{по}}=15+5=20$$ $$v_{\text{против}}=15-5=10$$ $$t_{\text{по}}=\frac{280}{20}=14$$ $$t_{\text{против}}=\frac{280}{10}=28$$ $$28-14=14$$ Все данные времени совпали. Мы нашли скорость течения, как спрашивается в условии. Ответ: $5$ км/ч.

Шаг 1. Обозначаем неизвестное и объясняем скорости. Нужно найти скорость течения. Обозначим её v, в км/ч. По течению вода помогает судну: скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения. Против течения вода мешает: скорости вычитаются. $$v_{\text{по}}=v + 9$$ $$v_{\text{против}}=9 - v$$ Обе скорости движения должны быть положительными. Поэтому неизвестное обязано удовлетворять ограничению: $$0<v<9$$ Шаг 2. Определяем время движения и составляем уравнение. Против течения судно движется медленнее и тратит больше времени. По условию это время больше времени обратного движения на 6 ч. Поэтому вычитаем меньшее время из большего: $$\frac{72}{9 - v}-\frac{72}{v + 9}=6$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение двух скоростей. Оно положительно на выбранной области: $$(v + 9)(9 - v)=9^2-9v+9v-v^2$$ Противоположные слагаемые с v уничтожаются. Квадрат известного числа равен: $$9^2=9\cdot9=81$$ $$(v + 9)(9 - v)=81 - v^{2}$$ У каждой дроби домножаем числитель на недостающий множитель, затем объединяем числители: $$\frac{72(v + 9)-72(9 - v)}{81 - v^{2}}=6$$ Раскрываем скобки в числителе. Перед второй скобкой стоит минус, поэтому меняем знаки всех её слагаемых: $$72(v + 9)-72(9 - v)=72\cdot9+72v-72\cdot9+72v$$ Вычисляем числовые произведения и складываем одинаковые слагаемые: $$72\cdot9=648$$ $$72\cdot9+72v-72\cdot9+72v=144 v$$ Умножаем обе части на положительный общий знаменатель: $$144 v=6(81 - v^{2})$$ Раскрываем скобки справа: $$144 v=6\cdot81-6v^2$$ $$6\cdot81=486$$ $$144 v=486 - 6 v^{2}$$ Переносим всё влево, чтобы получить уравнение с нулём справа: $$- 6 v^{2} - 144 v + 486=0$$ Шаг 4. Решаем квадратное уравнение. Делим каждый член на ненулевой общий множитель -6. $$v^{2} + 24 v - 81=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=24,\qquad C=-81$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(24)^2=576$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-81)=-324$$ $$D=B^2-4AC=576-(-324)=900$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{900}=30$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(24)+30}{2\cdot(1)}=\frac{6}{2}=3$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(24)-30}{2\cdot(1)}=\frac{-54}{2}=-27$$ Корень $v=-27$ нарушает ограничение на скорость, поэтому исключается. Корень $v=3$ удовлетворяет ограничению и подходит. Шаг 5. Подставляем скорость и проверяем время каждого участка. $$v_{\text{по}}=9+3=12$$ $$v_{\text{против}}=9-3=6$$ $$t_{\text{по}}=\frac{72}{12}=6$$ $$t_{\text{против}}=\frac{72}{6}=12$$ $$12-6=6$$ Все данные времени совпали. Мы нашли скорость течения, как спрашивается в условии. Ответ: $3$ км/ч.

Шаг 1. Обозначаем неизвестное и объясняем скорости. Нужно найти собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде. Обозначим её v, в км/ч. По течению вода помогает судну: скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения. Против течения вода мешает: скорости вычитаются. $$v_{\text{по}}=v + 4$$ $$v_{\text{против}}=v - 4$$ Обе скорости движения должны быть положительными. Поэтому неизвестное обязано удовлетворять ограничению: $$v>4$$ Шаг 2. Определяем время движения и составляем уравнение. Из общего времени вычитаем стоянку. Во время стоянки судно не проходит путь: $$10-5=5$$ Время каждого участка равно пути, делённому на скорость. Весь путь туда и обратно включает два участка одинаковой длины: $$t_{\text{по}}=\frac{48}{v + 4}$$ $$t_{\text{против}}=\frac{48}{v - 4}$$ Их времена складываются: $$\frac{48}{v + 4}+\frac{48}{v - 4}=5$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение двух скоростей. Оно положительно на выбранной области: $$(v + 4)(v - 4)=v^2-v\cdot4+4v-4^2$$ Противоположные слагаемые с v уничтожаются. Квадрат известного числа равен: $$4^2=4\cdot4=16$$ $$(v + 4)(v - 4)=v^{2} - 16$$ У каждой дроби домножаем числитель на недостающий множитель, затем объединяем числители: $$\frac{48(v - 4)+48(v + 4)}{v^{2} - 16}=5$$ Раскрываем скобки в числителе. В сумме времён слагаемые с противоположными знаками уничтожаются: $$48(v - 4)+48(v + 4)=48v-48\cdot4+48v+48\cdot4$$ Вычисляем числовые произведения и складываем одинаковые слагаемые: $$48\cdot4=192$$ $$48v-48\cdot4+48v+48\cdot4=96 v$$ Умножаем обе части на положительный общий знаменатель: $$96 v=5(v^{2} - 16)$$ Раскрываем скобки справа: $$96 v=5v^2-5\cdot16$$ $$5\cdot16=80$$ $$96 v=5 v^{2} - 80$$ Переносим всё влево, чтобы получить уравнение с нулём справа: $$5 v^{2} - 96 v - 80=0$$ Шаг 4. Решаем квадратное уравнение. Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=5,\qquad B=-96,\qquad C=-80$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-96)^2=9216$$ $$4AC=4\cdot(5)\cdot(-80)=-1600$$ $$D=B^2-4AC=9216-(-1600)=10816$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{10816}=104$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-96)+104}{2\cdot(5)}=\frac{200}{10}=20$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-96)-104}{2\cdot(5)}=\frac{-8}{10}=- \frac{4}{5}$$ Корень $v=- \frac{4}{5}$ нарушает ограничение на скорость, поэтому исключается. Корень $v=20$ удовлетворяет ограничению и подходит. Шаг 5. Подставляем скорость и проверяем время каждого участка. $$v_{\text{по}}=20+4=24$$ $$v_{\text{против}}=20-4=16$$ $$t_{\text{по}}=\frac{48}{24}=2$$ $$t_{\text{против}}=\frac{48}{16}=3$$ $$2+3=5$$ Возвращаем время стоянки: $$5+5=10$$ Все данные времени совпали. Мы нашли собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде, как спрашивается в условии. Ответ: $20$ км/ч.

Шаг 1. Обозначаем неизвестное и объясняем скорости. Нужно найти собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде. Обозначим её v, в км/ч. По течению вода помогает судну: скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения. Против течения вода мешает: скорости вычитаются. $$v_{\text{по}}=v + 4$$ $$v_{\text{против}}=v - 4$$ Обе скорости движения должны быть положительными. Поэтому неизвестное обязано удовлетворять ограничению: $$v>4$$ Шаг 2. Определяем время движения и составляем уравнение. Плот движется только с течением, поэтому его скорость равна 4 км/ч. По пройденному плотом пути находим время от его отправления до возвращения яхты: $$t_{\text{плот}}=\frac{92}{4}=23$$ Яхта отправилась на 3 ч позже, следовательно, время её рейса: $$23-3=20$$ Время каждого участка равно пути, делённому на скорость. Весь путь туда и обратно включает два участка одинаковой длины: $$t_{\text{по}}=\frac{192}{v + 4}$$ $$t_{\text{против}}=\frac{192}{v - 4}$$ Их времена складываются: $$\frac{192}{v + 4}+\frac{192}{v - 4}=20$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение двух скоростей. Оно положительно на выбранной области: $$(v + 4)(v - 4)=v^2-v\cdot4+4v-4^2$$ Противоположные слагаемые с v уничтожаются. Квадрат известного числа равен: $$4^2=4\cdot4=16$$ $$(v + 4)(v - 4)=v^{2} - 16$$ У каждой дроби домножаем числитель на недостающий множитель, затем объединяем числители: $$\frac{192(v - 4)+192(v + 4)}{v^{2} - 16}=20$$ Раскрываем скобки в числителе. В сумме времён слагаемые с противоположными знаками уничтожаются: $$192(v - 4)+192(v + 4)=192v-192\cdot4+192v+192\cdot4$$ Вычисляем числовые произведения и складываем одинаковые слагаемые: $$192\cdot4=768$$ $$192v-192\cdot4+192v+192\cdot4=384 v$$ Умножаем обе части на положительный общий знаменатель: $$384 v=20(v^{2} - 16)$$ Раскрываем скобки справа: $$384 v=20v^2-20\cdot16$$ $$20\cdot16=320$$ $$384 v=20 v^{2} - 320$$ Переносим всё влево, чтобы получить уравнение с нулём справа: $$20 v^{2} - 384 v - 320=0$$ Шаг 4. Решаем квадратное уравнение. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 4. $$5 v^{2} - 96 v - 80=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=5,\qquad B=-96,\qquad C=-80$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-96)^2=9216$$ $$4AC=4\cdot(5)\cdot(-80)=-1600$$ $$D=B^2-4AC=9216-(-1600)=10816$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{10816}=104$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-96)+104}{2\cdot(5)}=\frac{200}{10}=20$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-96)-104}{2\cdot(5)}=\frac{-8}{10}=- \frac{4}{5}$$ Корень $v=- \frac{4}{5}$ нарушает ограничение на скорость, поэтому исключается. Корень $v=20$ удовлетворяет ограничению и подходит. Шаг 5. Подставляем скорость и проверяем время каждого участка. $$v_{\text{по}}=20+4=24$$ $$v_{\text{против}}=20-4=16$$ $$t_{\text{по}}=\frac{192}{24}=8$$ $$t_{\text{против}}=\frac{192}{16}=12$$ $$8+12=20$$ Все данные времени совпали. Мы нашли собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде, как спрашивается в условии. Ответ: $20$ км/ч.

Шаг 1. Обозначаем неизвестное и объясняем скорости. Нужно найти скорость течения. Обозначим её v, в км/ч. По течению вода помогает судну: скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения. Против течения вода мешает: скорости вычитаются. $$v_{\text{по}}=v + 9$$ $$v_{\text{против}}=9 - v$$ Обе скорости движения должны быть положительными. Поэтому неизвестное обязано удовлетворять ограничению: $$0<v<9$$ Шаг 2. Определяем время движения и составляем уравнение. Против течения судно движется медленнее и тратит больше времени. По условию это время больше времени обратного движения на 4 ч. Поэтому вычитаем меньшее время из большего: $$\frac{77}{9 - v}-\frac{77}{v + 9}=4$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение двух скоростей. Оно положительно на выбранной области: $$(v + 9)(9 - v)=9^2-9v+9v-v^2$$ Противоположные слагаемые с v уничтожаются. Квадрат известного числа равен: $$9^2=9\cdot9=81$$ $$(v + 9)(9 - v)=81 - v^{2}$$ У каждой дроби домножаем числитель на недостающий множитель, затем объединяем числители: $$\frac{77(v + 9)-77(9 - v)}{81 - v^{2}}=4$$ Раскрываем скобки в числителе. Перед второй скобкой стоит минус, поэтому меняем знаки всех её слагаемых: $$77(v + 9)-77(9 - v)=77\cdot9+77v-77\cdot9+77v$$ Вычисляем числовые произведения и складываем одинаковые слагаемые: $$77\cdot9=693$$ $$77\cdot9+77v-77\cdot9+77v=154 v$$ Умножаем обе части на положительный общий знаменатель: $$154 v=4(81 - v^{2})$$ Раскрываем скобки справа: $$154 v=4\cdot81-4v^2$$ $$4\cdot81=324$$ $$154 v=324 - 4 v^{2}$$ Переносим всё влево, чтобы получить уравнение с нулём справа: $$- 4 v^{2} - 154 v + 324=0$$ Шаг 4. Решаем квадратное уравнение. Делим каждый член на ненулевой общий множитель -2. $$2 v^{2} + 77 v - 162=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=2,\qquad B=77,\qquad C=-162$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(77)^2=5929$$ $$4AC=4\cdot(2)\cdot(-162)=-1296$$ $$D=B^2-4AC=5929-(-1296)=7225$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{7225}=85$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(77)+85}{2\cdot(2)}=\frac{8}{4}=2$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(77)-85}{2\cdot(2)}=\frac{-162}{4}=- \frac{81}{2}$$ Корень $v=- \frac{81}{2}$ нарушает ограничение на скорость, поэтому исключается. Корень $v=2$ удовлетворяет ограничению и подходит. Шаг 5. Подставляем скорость и проверяем время каждого участка. $$v_{\text{по}}=9+2=11$$ $$v_{\text{против}}=9-2=7$$ $$t_{\text{по}}=\frac{77}{11}=7$$ $$t_{\text{против}}=\frac{77}{7}=11$$ $$11-7=4$$ Все данные времени совпали. Мы нашли скорость течения, как спрашивается в условии. Ответ: $2$ км/ч.

Шаг 1. Обозначаем неизвестное и объясняем скорости. Нужно найти скорость течения. Обозначим её v, в км/ч. По течению вода помогает судну: скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения. Против течения вода мешает: скорости вычитаются. $$v_{\text{по}}=v + 8$$ $$v_{\text{против}}=8 - v$$ Обе скорости движения должны быть положительными. Поэтому неизвестное обязано удовлетворять ограничению: $$0<v<8$$ Шаг 2. Определяем время движения и составляем уравнение. Против течения судно движется медленнее и тратит больше времени. По условию это время больше времени обратного движения на 8 ч. Поэтому вычитаем меньшее время из большего: $$\frac{48}{8 - v}-\frac{48}{v + 8}=8$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение двух скоростей. Оно положительно на выбранной области: $$(v + 8)(8 - v)=8^2-8v+8v-v^2$$ Противоположные слагаемые с v уничтожаются. Квадрат известного числа равен: $$8^2=8\cdot8=64$$ $$(v + 8)(8 - v)=64 - v^{2}$$ У каждой дроби домножаем числитель на недостающий множитель, затем объединяем числители: $$\frac{48(v + 8)-48(8 - v)}{64 - v^{2}}=8$$ Раскрываем скобки в числителе. Перед второй скобкой стоит минус, поэтому меняем знаки всех её слагаемых: $$48(v + 8)-48(8 - v)=48\cdot8+48v-48\cdot8+48v$$ Вычисляем числовые произведения и складываем одинаковые слагаемые: $$48\cdot8=384$$ $$48\cdot8+48v-48\cdot8+48v=96 v$$ Умножаем обе части на положительный общий знаменатель: $$96 v=8(64 - v^{2})$$ Раскрываем скобки справа: $$96 v=8\cdot64-8v^2$$ $$8\cdot64=512$$ $$96 v=512 - 8 v^{2}$$ Переносим всё влево, чтобы получить уравнение с нулём справа: $$- 8 v^{2} - 96 v + 512=0$$ Шаг 4. Решаем квадратное уравнение. Делим каждый член на ненулевой общий множитель -8. $$v^{2} + 12 v - 64=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=12,\qquad C=-64$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(12)^2=144$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-64)=-256$$ $$D=B^2-4AC=144-(-256)=400$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{400}=20$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(12)+20}{2\cdot(1)}=\frac{8}{2}=4$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(12)-20}{2\cdot(1)}=\frac{-32}{2}=-16$$ Корень $v=-16$ нарушает ограничение на скорость, поэтому исключается. Корень $v=4$ удовлетворяет ограничению и подходит. Шаг 5. Подставляем скорость и проверяем время каждого участка. $$v_{\text{по}}=8+4=12$$ $$v_{\text{против}}=8-4=4$$ $$t_{\text{по}}=\frac{48}{12}=4$$ $$t_{\text{против}}=\frac{48}{4}=12$$ $$12-4=8$$ Все данные времени совпали. Мы нашли скорость течения, как спрашивается в условии. Ответ: $4$ км/ч.

Шаг 1. Обозначаем неизвестное и объясняем скорости. Нужно найти скорость течения. Обозначим её v, в км/ч. По течению вода помогает судну: скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения. Против течения вода мешает: скорости вычитаются. $$v_{\text{по}}=v + 22$$ $$v_{\text{против}}=22 - v$$ Обе скорости движения должны быть положительными. Поэтому неизвестное обязано удовлетворять ограничению: $$0<v<22$$ Шаг 2. Определяем время движения и составляем уравнение. Из общего времени вычитаем стоянку. Во время стоянки судно не проходит путь: $$47-3=44$$ Время каждого участка равно пути, делённому на скорость. Весь путь туда и обратно включает два участка одинаковой длины: $$t_{\text{по}}=\frac{468}{v + 22}$$ $$t_{\text{против}}=\frac{468}{22 - v}$$ Их времена складываются: $$\frac{468}{v + 22}+\frac{468}{22 - v}=44$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение двух скоростей. Оно положительно на выбранной области: $$(v + 22)(22 - v)=22^2-22v+22v-v^2$$ Противоположные слагаемые с v уничтожаются. Квадрат известного числа равен: $$22^2=22\cdot22=484$$ $$(v + 22)(22 - v)=484 - v^{2}$$ У каждой дроби домножаем числитель на недостающий множитель, затем объединяем числители: $$\frac{468(22 - v)+468(v + 22)}{484 - v^{2}}=44$$ Раскрываем скобки в числителе. В сумме времён слагаемые с противоположными знаками уничтожаются: $$468(22 - v)+468(v + 22)=468\cdot22-468v+468\cdot22+468v$$ Вычисляем числовые произведения и складываем одинаковые слагаемые: $$468\cdot22=10296$$ $$468\cdot22-468v+468\cdot22+468v=20592$$ Умножаем обе части на положительный общий знаменатель: $$20592=44(484 - v^{2})$$ Раскрываем скобки справа: $$20592=44\cdot484-44v^2$$ $$44\cdot484=21296$$ $$20592=21296 - 44 v^{2}$$ Переносим всё влево, чтобы получить уравнение с нулём справа: $$704 - 44 v^{2}=0$$ Шаг 4. Решаем квадратное уравнение. Делим каждый член на ненулевой общий множитель -44. $$v^{2} - 16=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=0,\qquad C=-16$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(0)^2=0$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-16)=-64$$ $$D=B^2-4AC=0-(-64)=64$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{64}=8$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(0)+8}{2\cdot(1)}=\frac{8}{2}=4$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(0)-8}{2\cdot(1)}=\frac{-8}{2}=-4$$ Корень $v=-4$ нарушает ограничение на скорость, поэтому исключается. Корень $v=4$ удовлетворяет ограничению и подходит. Шаг 5. Подставляем скорость и проверяем время каждого участка. $$v_{\text{по}}=22+4=26$$ $$v_{\text{против}}=22-4=18$$ $$t_{\text{по}}=\frac{468}{26}=18$$ $$t_{\text{против}}=\frac{468}{18}=26$$ $$18+26=44$$ Возвращаем время стоянки: $$44+3=47$$ Все данные времени совпали. Мы нашли скорость течения, как спрашивается в условии. Ответ: $4$ км/ч.

Шаг 1. Обозначаем неизвестное и объясняем скорости. Нужно найти собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде. Обозначим её v, в км/ч. По течению вода помогает судну: скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения. Против течения вода мешает: скорости вычитаются. $$v_{\text{по}}=v + 1$$ $$v_{\text{против}}=v - 1$$ Обе скорости движения должны быть положительными. Поэтому неизвестное обязано удовлетворять ограничению: $$v>1$$ Шаг 2. Определяем время движения и составляем уравнение. Из общего времени вычитаем стоянку. Во время стоянки судно не проходит путь: $$20-1=19$$ Время каждого участка равно пути, делённому на скорость. Весь путь туда и обратно включает два участка одинаковой длины: $$t_{\text{по}}=\frac{180}{v + 1}$$ $$t_{\text{против}}=\frac{180}{v - 1}$$ Их времена складываются: $$\frac{180}{v + 1}+\frac{180}{v - 1}=19$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение двух скоростей. Оно положительно на выбранной области: $$(v + 1)(v - 1)=v^2-v\cdot1+1v-1^2$$ Противоположные слагаемые с v уничтожаются. Квадрат известного числа равен: $$1^2=1\cdot1=1$$ $$(v + 1)(v - 1)=v^{2} - 1$$ У каждой дроби домножаем числитель на недостающий множитель, затем объединяем числители: $$\frac{180(v - 1)+180(v + 1)}{v^{2} - 1}=19$$ Раскрываем скобки в числителе. В сумме времён слагаемые с противоположными знаками уничтожаются: $$180(v - 1)+180(v + 1)=180v-180\cdot1+180v+180\cdot1$$ Вычисляем числовые произведения и складываем одинаковые слагаемые: $$180\cdot1=180$$ $$180v-180\cdot1+180v+180\cdot1=360 v$$ Умножаем обе части на положительный общий знаменатель: $$360 v=19(v^{2} - 1)$$ Раскрываем скобки справа: $$360 v=19v^2-19\cdot1$$ $$19\cdot1=19$$ $$360 v=19 v^{2} - 19$$ Переносим всё влево, чтобы получить уравнение с нулём справа: $$19 v^{2} - 360 v - 19=0$$ Шаг 4. Решаем квадратное уравнение. Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=19,\qquad B=-360,\qquad C=-19$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-360)^2=129600$$ $$4AC=4\cdot(19)\cdot(-19)=-1444$$ $$D=B^2-4AC=129600-(-1444)=131044$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{131044}=362$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-360)+362}{2\cdot(19)}=\frac{722}{38}=19$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-360)-362}{2\cdot(19)}=\frac{-2}{38}=- \frac{1}{19}$$ Корень $v=- \frac{1}{19}$ нарушает ограничение на скорость, поэтому исключается. Корень $v=19$ удовлетворяет ограничению и подходит. Шаг 5. Подставляем скорость и проверяем время каждого участка. $$v_{\text{по}}=19+1=20$$ $$v_{\text{против}}=19-1=18$$ $$t_{\text{по}}=\frac{180}{20}=9$$ $$t_{\text{против}}=\frac{180}{18}=10$$ $$9+10=19$$ Возвращаем время стоянки: $$19+1=20$$ Все данные времени совпали. Мы нашли собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде, как спрашивается в условии. Ответ: $19$ км/ч.

Шаг 1. Обозначаем неизвестное и объясняем скорости. Нужно найти собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде. Обозначим её v, в км/ч. По течению вода помогает судну: скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения. Против течения вода мешает: скорости вычитаются. $$v_{\text{по}}=v + 2$$ $$v_{\text{против}}=v - 2$$ Обе скорости движения должны быть положительными. Поэтому неизвестное обязано удовлетворять ограничению: $$v>2$$ Шаг 2. Определяем время движения и составляем уравнение. Против течения судно движется медленнее и тратит больше времени. По условию это время больше времени обратного движения на 4 ч. Поэтому вычитаем меньшее время из большего: $$\frac{117}{v - 2}-\frac{117}{v + 2}=4$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение двух скоростей. Оно положительно на выбранной области: $$(v + 2)(v - 2)=v^2-v\cdot2+2v-2^2$$ Противоположные слагаемые с v уничтожаются. Квадрат известного числа равен: $$2^2=2\cdot2=4$$ $$(v + 2)(v - 2)=v^{2} - 4$$ У каждой дроби домножаем числитель на недостающий множитель, затем объединяем числители: $$\frac{117(v + 2)-117(v - 2)}{v^{2} - 4}=4$$ Раскрываем скобки в числителе. Перед второй скобкой стоит минус, поэтому меняем знаки всех её слагаемых: $$117(v + 2)-117(v - 2)=117v+117\cdot2-117v+117\cdot2$$ Вычисляем числовые произведения и складываем одинаковые слагаемые: $$117\cdot2=234$$ $$117v+117\cdot2-117v+117\cdot2=468$$ Умножаем обе части на положительный общий знаменатель: $$468=4(v^{2} - 4)$$ Раскрываем скобки справа: $$468=4v^2-4\cdot4$$ $$4\cdot4=16$$ $$468=4 v^{2} - 16$$ Переносим всё влево, чтобы получить уравнение с нулём справа: $$4 v^{2} - 484=0$$ Шаг 4. Решаем квадратное уравнение. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 4. $$v^{2} - 121=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=0,\qquad C=-121$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(0)^2=0$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-121)=-484$$ $$D=B^2-4AC=0-(-484)=484$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{484}=22$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(0)+22}{2\cdot(1)}=\frac{22}{2}=11$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(0)-22}{2\cdot(1)}=\frac{-22}{2}=-11$$ Корень $v=-11$ нарушает ограничение на скорость, поэтому исключается. Корень $v=11$ удовлетворяет ограничению и подходит. Шаг 5. Подставляем скорость и проверяем время каждого участка. $$v_{\text{по}}=11+2=13$$ $$v_{\text{против}}=11-2=9$$ $$t_{\text{по}}=\frac{117}{13}=9$$ $$t_{\text{против}}=\frac{117}{9}=13$$ $$13-9=4$$ Все данные времени совпали. Мы нашли собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде, как спрашивается в условии. Ответ: $11$ км/ч.

Шаг 1. Обозначаем неизвестное и объясняем скорости. Нужно найти собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде. Обозначим её v, в км/ч. По течению вода помогает судну: скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения. Против течения вода мешает: скорости вычитаются. $$v_{\text{по}}=v + 1$$ $$v_{\text{против}}=v - 1$$ Обе скорости движения должны быть положительными. Поэтому неизвестное обязано удовлетворять ограничению: $$v>1$$ Шаг 2. Определяем время движения и составляем уравнение. Против течения судно движется медленнее и тратит больше времени. По условию это время больше времени обратного движения на 2 ч. Поэтому вычитаем меньшее время из большего: $$\frac{255}{v - 1}-\frac{255}{v + 1}=2$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение двух скоростей. Оно положительно на выбранной области: $$(v + 1)(v - 1)=v^2-v\cdot1+1v-1^2$$ Противоположные слагаемые с v уничтожаются. Квадрат известного числа равен: $$1^2=1\cdot1=1$$ $$(v + 1)(v - 1)=v^{2} - 1$$ У каждой дроби домножаем числитель на недостающий множитель, затем объединяем числители: $$\frac{255(v + 1)-255(v - 1)}{v^{2} - 1}=2$$ Раскрываем скобки в числителе. Перед второй скобкой стоит минус, поэтому меняем знаки всех её слагаемых: $$255(v + 1)-255(v - 1)=255v+255\cdot1-255v+255\cdot1$$ Вычисляем числовые произведения и складываем одинаковые слагаемые: $$255\cdot1=255$$ $$255v+255\cdot1-255v+255\cdot1=510$$ Умножаем обе части на положительный общий знаменатель: $$510=2(v^{2} - 1)$$ Раскрываем скобки справа: $$510=2v^2-2\cdot1$$ $$2\cdot1=2$$ $$510=2 v^{2} - 2$$ Переносим всё влево, чтобы получить уравнение с нулём справа: $$2 v^{2} - 512=0$$ Шаг 4. Решаем квадратное уравнение. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 2. $$v^{2} - 256=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=0,\qquad C=-256$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(0)^2=0$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-256)=-1024$$ $$D=B^2-4AC=0-(-1024)=1024$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{1024}=32$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(0)+32}{2\cdot(1)}=\frac{32}{2}=16$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(0)-32}{2\cdot(1)}=\frac{-32}{2}=-16$$ Корень $v=-16$ нарушает ограничение на скорость, поэтому исключается. Корень $v=16$ удовлетворяет ограничению и подходит. Шаг 5. Подставляем скорость и проверяем время каждого участка. $$v_{\text{по}}=16+1=17$$ $$v_{\text{против}}=16-1=15$$ $$t_{\text{по}}=\frac{255}{17}=15$$ $$t_{\text{против}}=\frac{255}{15}=17$$ $$17-15=2$$ Все данные времени совпали. Мы нашли собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде, как спрашивается в условии. Ответ: $16$ км/ч.

Шаг 1. Обозначаем неизвестное и объясняем скорости. Нужно найти скорость течения. Обозначим её v, в км/ч. По течению вода помогает судну: скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения. Против течения вода мешает: скорости вычитаются. $$v_{\text{по}}=v + 25$$ $$v_{\text{против}}=25 - v$$ Обе скорости движения должны быть положительными. Поэтому неизвестное обязано удовлетворять ограничению: $$0<v<25$$ Шаг 2. Определяем время движения и составляем уравнение. Из общего времени вычитаем стоянку. Во время стоянки судно не проходит путь: $$51-1=50$$ Время каждого участка равно пути, делённому на скорость. Весь путь туда и обратно включает два участка одинаковой длины: $$t_{\text{по}}=\frac{609}{v + 25}$$ $$t_{\text{против}}=\frac{609}{25 - v}$$ Их времена складываются: $$\frac{609}{v + 25}+\frac{609}{25 - v}=50$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение двух скоростей. Оно положительно на выбранной области: $$(v + 25)(25 - v)=25^2-25v+25v-v^2$$ Противоположные слагаемые с v уничтожаются. Квадрат известного числа равен: $$25^2=25\cdot25=625$$ $$(v + 25)(25 - v)=625 - v^{2}$$ У каждой дроби домножаем числитель на недостающий множитель, затем объединяем числители: $$\frac{609(25 - v)+609(v + 25)}{625 - v^{2}}=50$$ Раскрываем скобки в числителе. В сумме времён слагаемые с противоположными знаками уничтожаются: $$609(25 - v)+609(v + 25)=609\cdot25-609v+609\cdot25+609v$$ Вычисляем числовые произведения и складываем одинаковые слагаемые: $$609\cdot25=15225$$ $$609\cdot25-609v+609\cdot25+609v=30450$$ Умножаем обе части на положительный общий знаменатель: $$30450=50(625 - v^{2})$$ Раскрываем скобки справа: $$30450=50\cdot625-50v^2$$ $$50\cdot625=31250$$ $$30450=31250 - 50 v^{2}$$ Переносим всё влево, чтобы получить уравнение с нулём справа: $$800 - 50 v^{2}=0$$ Шаг 4. Решаем квадратное уравнение. Делим каждый член на ненулевой общий множитель -50. $$v^{2} - 16=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=0,\qquad C=-16$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(0)^2=0$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-16)=-64$$ $$D=B^2-4AC=0-(-64)=64$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{64}=8$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(0)+8}{2\cdot(1)}=\frac{8}{2}=4$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(0)-8}{2\cdot(1)}=\frac{-8}{2}=-4$$ Корень $v=-4$ нарушает ограничение на скорость, поэтому исключается. Корень $v=4$ удовлетворяет ограничению и подходит. Шаг 5. Подставляем скорость и проверяем время каждого участка. $$v_{\text{по}}=25+4=29$$ $$v_{\text{против}}=25-4=21$$ $$t_{\text{по}}=\frac{609}{29}=21$$ $$t_{\text{против}}=\frac{609}{21}=29$$ $$21+29=50$$ Возвращаем время стоянки: $$50+1=51$$ Все данные времени совпали. Мы нашли скорость течения, как спрашивается в условии. Ответ: $4$ км/ч.

Шаг 1. Обозначаем неизвестное и объясняем скорости. Нужно найти собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде. Обозначим её v, в км/ч. По течению вода помогает судну: скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения. Против течения вода мешает: скорости вычитаются. $$v_{\text{по}}=v + 3$$ $$v_{\text{против}}=v - 3$$ Обе скорости движения должны быть положительными. Поэтому неизвестное обязано удовлетворять ограничению: $$v>3$$ Шаг 2. Определяем время движения и составляем уравнение. Между отправлением и возвращением прошло: $$16-10=6\text{ ч}$$ Из общего времени вычитаем стоянку. Во время стоянки судно не проходит путь: $$6-3=3$$ Время каждого участка равно пути, делённому на скорость. Весь путь туда и обратно включает два участка одинаковой длины: $$t_{\text{по}}=\frac{40}{v + 3}$$ $$t_{\text{против}}=\frac{40}{v - 3}$$ Их времена складываются: $$\frac{40}{v + 3}+\frac{40}{v - 3}=3$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение двух скоростей. Оно положительно на выбранной области: $$(v + 3)(v - 3)=v^2-v\cdot3+3v-3^2$$ Противоположные слагаемые с v уничтожаются. Квадрат известного числа равен: $$3^2=3\cdot3=9$$ $$(v + 3)(v - 3)=v^{2} - 9$$ У каждой дроби домножаем числитель на недостающий множитель, затем объединяем числители: $$\frac{40(v - 3)+40(v + 3)}{v^{2} - 9}=3$$ Раскрываем скобки в числителе. В сумме времён слагаемые с противоположными знаками уничтожаются: $$40(v - 3)+40(v + 3)=40v-40\cdot3+40v+40\cdot3$$ Вычисляем числовые произведения и складываем одинаковые слагаемые: $$40\cdot3=120$$ $$40v-40\cdot3+40v+40\cdot3=80 v$$ Умножаем обе части на положительный общий знаменатель: $$80 v=3(v^{2} - 9)$$ Раскрываем скобки справа: $$80 v=3v^2-3\cdot9$$ $$3\cdot9=27$$ $$80 v=3 v^{2} - 27$$ Переносим всё влево, чтобы получить уравнение с нулём справа: $$3 v^{2} - 80 v - 27=0$$ Шаг 4. Решаем квадратное уравнение. Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=3,\qquad B=-80,\qquad C=-27$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-80)^2=6400$$ $$4AC=4\cdot(3)\cdot(-27)=-324$$ $$D=B^2-4AC=6400-(-324)=6724$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{6724}=82$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-80)+82}{2\cdot(3)}=\frac{162}{6}=27$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-80)-82}{2\cdot(3)}=\frac{-2}{6}=- \frac{1}{3}$$ Корень $v=- \frac{1}{3}$ нарушает ограничение на скорость, поэтому исключается. Корень $v=27$ удовлетворяет ограничению и подходит. Шаг 5. Подставляем скорость и проверяем время каждого участка. $$v_{\text{по}}=27+3=30$$ $$v_{\text{против}}=27-3=24$$ $$t_{\text{по}}=\frac{40}{30}=\frac{4}{3}$$ $$t_{\text{против}}=\frac{40}{24}=\frac{5}{3}$$ $$\frac{4}{3}+\frac{5}{3}=3$$ Возвращаем время стоянки: $$3+3=6$$ Все данные времени совпали. Мы нашли собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде, как спрашивается в условии. Ответ: $27$ км/ч.

Шаг 1. Обозначаем неизвестное и объясняем скорости. Нужно найти собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде. Обозначим её v, в км/ч. По течению вода помогает судну: скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения. Против течения вода мешает: скорости вычитаются. $$v_{\text{по}}=v + 3$$ $$v_{\text{против}}=v - 3$$ Обе скорости движения должны быть положительными. Поэтому неизвестное обязано удовлетворять ограничению: $$v>3$$ Шаг 2. Определяем время движения и составляем уравнение. Против течения судно движется медленнее и тратит больше времени. По условию это время больше времени обратного движения на 6 ч. Поэтому вычитаем меньшее время из большего: $$\frac{91}{v - 3}-\frac{91}{v + 3}=6$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение двух скоростей. Оно положительно на выбранной области: $$(v + 3)(v - 3)=v^2-v\cdot3+3v-3^2$$ Противоположные слагаемые с v уничтожаются. Квадрат известного числа равен: $$3^2=3\cdot3=9$$ $$(v + 3)(v - 3)=v^{2} - 9$$ У каждой дроби домножаем числитель на недостающий множитель, затем объединяем числители: $$\frac{91(v + 3)-91(v - 3)}{v^{2} - 9}=6$$ Раскрываем скобки в числителе. Перед второй скобкой стоит минус, поэтому меняем знаки всех её слагаемых: $$91(v + 3)-91(v - 3)=91v+91\cdot3-91v+91\cdot3$$ Вычисляем числовые произведения и складываем одинаковые слагаемые: $$91\cdot3=273$$ $$91v+91\cdot3-91v+91\cdot3=546$$ Умножаем обе части на положительный общий знаменатель: $$546=6(v^{2} - 9)$$ Раскрываем скобки справа: $$546=6v^2-6\cdot9$$ $$6\cdot9=54$$ $$546=6 v^{2} - 54$$ Переносим всё влево, чтобы получить уравнение с нулём справа: $$6 v^{2} - 600=0$$ Шаг 4. Решаем квадратное уравнение. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 6. $$v^{2} - 100=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=0,\qquad C=-100$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(0)^2=0$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-100)=-400$$ $$D=B^2-4AC=0-(-400)=400$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{400}=20$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(0)+20}{2\cdot(1)}=\frac{20}{2}=10$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(0)-20}{2\cdot(1)}=\frac{-20}{2}=-10$$ Корень $v=-10$ нарушает ограничение на скорость, поэтому исключается. Корень $v=10$ удовлетворяет ограничению и подходит. Шаг 5. Подставляем скорость и проверяем время каждого участка. $$v_{\text{по}}=10+3=13$$ $$v_{\text{против}}=10-3=7$$ $$t_{\text{по}}=\frac{91}{13}=7$$ $$t_{\text{против}}=\frac{91}{7}=13$$ $$13-7=6$$ Все данные времени совпали. Мы нашли собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде, как спрашивается в условии. Ответ: $10$ км/ч.

Шаг 1. Обозначаем неизвестное и объясняем скорости. Нужно найти собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде. Обозначим её v, в км/ч. По течению вода помогает судну: скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения. Против течения вода мешает: скорости вычитаются. $$v_{\text{по}}=v + 3$$ $$v_{\text{против}}=v - 3$$ Обе скорости движения должны быть положительными. Поэтому неизвестное обязано удовлетворять ограничению: $$v>3$$ Шаг 2. Определяем время движения и составляем уравнение. Между отправлением и возвращением прошло: $$18-10=8\text{ ч}$$ Из общего времени вычитаем стоянку. Во время стоянки судно не проходит путь: $$8-4=4$$ Время каждого участка равно пути, делённому на скорость. Весь путь туда и обратно включает два участка одинаковой длины: $$t_{\text{по}}=\frac{35}{v + 3}$$ $$t_{\text{против}}=\frac{35}{v - 3}$$ Их времена складываются: $$\frac{35}{v + 3}+\frac{35}{v - 3}=4$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение двух скоростей. Оно положительно на выбранной области: $$(v + 3)(v - 3)=v^2-v\cdot3+3v-3^2$$ Противоположные слагаемые с v уничтожаются. Квадрат известного числа равен: $$3^2=3\cdot3=9$$ $$(v + 3)(v - 3)=v^{2} - 9$$ У каждой дроби домножаем числитель на недостающий множитель, затем объединяем числители: $$\frac{35(v - 3)+35(v + 3)}{v^{2} - 9}=4$$ Раскрываем скобки в числителе. В сумме времён слагаемые с противоположными знаками уничтожаются: $$35(v - 3)+35(v + 3)=35v-35\cdot3+35v+35\cdot3$$ Вычисляем числовые произведения и складываем одинаковые слагаемые: $$35\cdot3=105$$ $$35v-35\cdot3+35v+35\cdot3=70 v$$ Умножаем обе части на положительный общий знаменатель: $$70 v=4(v^{2} - 9)$$ Раскрываем скобки справа: $$70 v=4v^2-4\cdot9$$ $$4\cdot9=36$$ $$70 v=4 v^{2} - 36$$ Переносим всё влево, чтобы получить уравнение с нулём справа: $$4 v^{2} - 70 v - 36=0$$ Шаг 4. Решаем квадратное уравнение. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 2. $$2 v^{2} - 35 v - 18=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=2,\qquad B=-35,\qquad C=-18$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-35)^2=1225$$ $$4AC=4\cdot(2)\cdot(-18)=-144$$ $$D=B^2-4AC=1225-(-144)=1369$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{1369}=37$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-35)+37}{2\cdot(2)}=\frac{72}{4}=18$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-35)-37}{2\cdot(2)}=\frac{-2}{4}=- \frac{1}{2}$$ Корень $v=- \frac{1}{2}$ нарушает ограничение на скорость, поэтому исключается. Корень $v=18$ удовлетворяет ограничению и подходит. Шаг 5. Подставляем скорость и проверяем время каждого участка. $$v_{\text{по}}=18+3=21$$ $$v_{\text{против}}=18-3=15$$ $$t_{\text{по}}=\frac{35}{21}=\frac{5}{3}$$ $$t_{\text{против}}=\frac{35}{15}=\frac{7}{3}$$ $$\frac{5}{3}+\frac{7}{3}=4$$ Возвращаем время стоянки: $$4+4=8$$ Все данные времени совпали. Мы нашли собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде, как спрашивается в условии. Ответ: $18$ км/ч.

Шаг 1. Обозначаем неизвестное и объясняем скорости. Нужно найти скорость течения. Обозначим её v, в км/ч. По течению вода помогает судну: скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения. Против течения вода мешает: скорости вычитаются. $$v_{\text{по}}=v + 13$$ $$v_{\text{против}}=13 - v$$ Обе скорости движения должны быть положительными. Поэтому неизвестное обязано удовлетворять ограничению: $$0<v<13$$ Шаг 2. Определяем время движения и составляем уравнение. Против течения судно движется медленнее и тратит больше времени. По условию это время больше времени обратного движения на 2 ч. Поэтому вычитаем меньшее время из большего: $$\frac{168}{13 - v}-\frac{168}{v + 13}=2$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение двух скоростей. Оно положительно на выбранной области: $$(v + 13)(13 - v)=13^2-13v+13v-v^2$$ Противоположные слагаемые с v уничтожаются. Квадрат известного числа равен: $$13^2=13\cdot13=169$$ $$(v + 13)(13 - v)=169 - v^{2}$$ У каждой дроби домножаем числитель на недостающий множитель, затем объединяем числители: $$\frac{168(v + 13)-168(13 - v)}{169 - v^{2}}=2$$ Раскрываем скобки в числителе. Перед второй скобкой стоит минус, поэтому меняем знаки всех её слагаемых: $$168(v + 13)-168(13 - v)=168\cdot13+168v-168\cdot13+168v$$ Вычисляем числовые произведения и складываем одинаковые слагаемые: $$168\cdot13=2184$$ $$168\cdot13+168v-168\cdot13+168v=336 v$$ Умножаем обе части на положительный общий знаменатель: $$336 v=2(169 - v^{2})$$ Раскрываем скобки справа: $$336 v=2\cdot169-2v^2$$ $$2\cdot169=338$$ $$336 v=338 - 2 v^{2}$$ Переносим всё влево, чтобы получить уравнение с нулём справа: $$- 2 v^{2} - 336 v + 338=0$$ Шаг 4. Решаем квадратное уравнение. Делим каждый член на ненулевой общий множитель -2. $$v^{2} + 168 v - 169=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=168,\qquad C=-169$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(168)^2=28224$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-169)=-676$$ $$D=B^2-4AC=28224-(-676)=28900$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{28900}=170$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(168)+170}{2\cdot(1)}=\frac{2}{2}=1$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(168)-170}{2\cdot(1)}=\frac{-338}{2}=-169$$ Корень $v=-169$ нарушает ограничение на скорость, поэтому исключается. Корень $v=1$ удовлетворяет ограничению и подходит. Шаг 5. Подставляем скорость и проверяем время каждого участка. $$v_{\text{по}}=13+1=14$$ $$v_{\text{против}}=13-1=12$$ $$t_{\text{по}}=\frac{168}{14}=12$$ $$t_{\text{против}}=\frac{168}{12}=14$$ $$14-12=2$$ Все данные времени совпали. Мы нашли скорость течения, как спрашивается в условии. Ответ: $1$ км/ч.

Шаг 1. Обозначаем неизвестное и объясняем скорости. Нужно найти собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде. Обозначим её v, в км/ч. По течению вода помогает судну: скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения. Против течения вода мешает: скорости вычитаются. $$v_{\text{по}}=v + 1$$ $$v_{\text{против}}=v - 1$$ Обе скорости движения должны быть положительными. Поэтому неизвестное обязано удовлетворять ограничению: $$v>1$$ Шаг 2. Определяем время движения и составляем уравнение. Против течения судно движется медленнее и тратит больше времени. По условию это время больше времени обратного движения на 2 ч. Поэтому вычитаем меньшее время из большего: $$\frac{143}{v - 1}-\frac{143}{v + 1}=2$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение двух скоростей. Оно положительно на выбранной области: $$(v + 1)(v - 1)=v^2-v\cdot1+1v-1^2$$ Противоположные слагаемые с v уничтожаются. Квадрат известного числа равен: $$1^2=1\cdot1=1$$ $$(v + 1)(v - 1)=v^{2} - 1$$ У каждой дроби домножаем числитель на недостающий множитель, затем объединяем числители: $$\frac{143(v + 1)-143(v - 1)}{v^{2} - 1}=2$$ Раскрываем скобки в числителе. Перед второй скобкой стоит минус, поэтому меняем знаки всех её слагаемых: $$143(v + 1)-143(v - 1)=143v+143\cdot1-143v+143\cdot1$$ Вычисляем числовые произведения и складываем одинаковые слагаемые: $$143\cdot1=143$$ $$143v+143\cdot1-143v+143\cdot1=286$$ Умножаем обе части на положительный общий знаменатель: $$286=2(v^{2} - 1)$$ Раскрываем скобки справа: $$286=2v^2-2\cdot1$$ $$2\cdot1=2$$ $$286=2 v^{2} - 2$$ Переносим всё влево, чтобы получить уравнение с нулём справа: $$2 v^{2} - 288=0$$ Шаг 4. Решаем квадратное уравнение. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 2. $$v^{2} - 144=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=0,\qquad C=-144$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(0)^2=0$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-144)=-576$$ $$D=B^2-4AC=0-(-576)=576$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{576}=24$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(0)+24}{2\cdot(1)}=\frac{24}{2}=12$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(0)-24}{2\cdot(1)}=\frac{-24}{2}=-12$$ Корень $v=-12$ нарушает ограничение на скорость, поэтому исключается. Корень $v=12$ удовлетворяет ограничению и подходит. Шаг 5. Подставляем скорость и проверяем время каждого участка. $$v_{\text{по}}=12+1=13$$ $$v_{\text{против}}=12-1=11$$ $$t_{\text{по}}=\frac{143}{13}=11$$ $$t_{\text{против}}=\frac{143}{11}=13$$ $$13-11=2$$ Все данные времени совпали. Мы нашли собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде, как спрашивается в условии. Ответ: $12$ км/ч.