ФИПИ 06B9F5 — Движение по воде

Шаг 1. Обозначаем неизвестное и объясняем скорости. Нужно найти собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде. Обозначим её v, в км/ч. По течению вода помогает судну: скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения. Против течения вода мешает: скорости вычитаются. $$v_{\text{по}}=v + 2$$ $$v_{\text{против}}=v - 2$$ Обе скорости движения должны быть положительными. Поэтому неизвестное обязано удовлетворять ограничению: $$v>2$$ Шаг 2. Определяем время движения и составляем уравнение. Из общего времени вычитаем стоянку. Во время стоянки судно не проходит путь: $$13-4=9$$ Время каждого участка равно пути, делённому на скорость. Весь путь туда и обратно включает два участка одинаковой длины: $$t_{\text{по}}=\frac{80}{v + 2}$$ $$t_{\text{против}}=\frac{80}{v - 2}$$ Их времена складываются: $$\frac{80}{v + 2}+\frac{80}{v - 2}=9$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение двух скоростей. Оно положительно на выбранной области: $$(v + 2)(v - 2)=v^2-v\cdot2+2v-2^2$$ Противоположные слагаемые с v уничтожаются. Квадрат известного числа равен: $$2^2=2\cdot2=4$$ $$(v + 2)(v - 2)=v^{2} - 4$$ У каждой дроби домножаем числитель на недостающий множитель, затем объединяем числители: $$\frac{80(v - 2)+80(v + 2)}{v^{2} - 4}=9$$ Раскрываем скобки в числителе. В сумме времён слагаемые с противоположными знаками уничтожаются: $$80(v - 2)+80(v + 2)=80v-80\cdot2+80v+80\cdot2$$ Вычисляем числовые произведения и складываем одинаковые слагаемые: $$80\cdot2=160$$ $$80v-80\cdot2+80v+80\cdot2=160 v$$ Умножаем обе части на положительный общий знаменатель: $$160 v=9(v^{2} - 4)$$ Раскрываем скобки справа: $$160 v=9v^2-9\cdot4$$ $$9\cdot4=36$$ $$160 v=9 v^{2} - 36$$ Переносим всё влево, чтобы получить уравнение с нулём справа: $$9 v^{2} - 160 v - 36=0$$ Шаг 4. Решаем квадратное уравнение. Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=9,\qquad B=-160,\qquad C=-36$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-160)^2=25600$$ $$4AC=4\cdot(9)\cdot(-36)=-1296$$ $$D=B^2-4AC=25600-(-1296)=26896$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{26896}=164$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-160)+164}{2\cdot(9)}=\frac{324}{18}=18$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-160)-164}{2\cdot(9)}=\frac{-4}{18}=- \frac{2}{9}$$ Корень $v=- \frac{2}{9}$ нарушает ограничение на скорость, поэтому исключается. Корень $v=18$ удовлетворяет ограничению и подходит. Шаг 5. Подставляем скорость и проверяем время каждого участка. $$v_{\text{по}}=18+2=20$$ $$v_{\text{против}}=18-2=16$$ $$t_{\text{по}}=\frac{80}{20}=4$$ $$t_{\text{против}}=\frac{80}{16}=5$$ $$4+5=9$$ Возвращаем время стоянки: $$9+4=13$$ Все данные времени совпали. Мы нашли собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде, как спрашивается в условии. Ответ: $18$ км/ч.