ФИПИ 24e361 — Движение по воде

Шаг 1. Обозначаем неизвестное и объясняем скорости. Нужно найти скорость течения. Обозначим её v, в км/ч. По течению вода помогает судну: скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения. Против течения вода мешает: скорости вычитаются. $$v_{\text{по}}=v + 15$$ $$v_{\text{против}}=15 - v$$ Обе скорости движения должны быть положительными. Поэтому неизвестное обязано удовлетворять ограничению: $$0<v<15$$ Шаг 2. Определяем время движения и составляем уравнение. Против течения судно движется медленнее и тратит больше времени. По условию это время больше времени обратного движения на 14 ч. Поэтому вычитаем меньшее время из большего: $$\frac{280}{15 - v}-\frac{280}{v + 15}=14$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение двух скоростей. Оно положительно на выбранной области: $$(v + 15)(15 - v)=15^2-15v+15v-v^2$$ Противоположные слагаемые с v уничтожаются. Квадрат известного числа равен: $$15^2=15\cdot15=225$$ $$(v + 15)(15 - v)=225 - v^{2}$$ У каждой дроби домножаем числитель на недостающий множитель, затем объединяем числители: $$\frac{280(v + 15)-280(15 - v)}{225 - v^{2}}=14$$ Раскрываем скобки в числителе. Перед второй скобкой стоит минус, поэтому меняем знаки всех её слагаемых: $$280(v + 15)-280(15 - v)=280\cdot15+280v-280\cdot15+280v$$ Вычисляем числовые произведения и складываем одинаковые слагаемые: $$280\cdot15=4200$$ $$280\cdot15+280v-280\cdot15+280v=560 v$$ Умножаем обе части на положительный общий знаменатель: $$560 v=14(225 - v^{2})$$ Раскрываем скобки справа: $$560 v=14\cdot225-14v^2$$ $$14\cdot225=3150$$ $$560 v=3150 - 14 v^{2}$$ Переносим всё влево, чтобы получить уравнение с нулём справа: $$- 14 v^{2} - 560 v + 3150=0$$ Шаг 4. Решаем квадратное уравнение. Делим каждый член на ненулевой общий множитель -14. $$v^{2} + 40 v - 225=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=40,\qquad C=-225$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(40)^2=1600$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-225)=-900$$ $$D=B^2-4AC=1600-(-900)=2500$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{2500}=50$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(40)+50}{2\cdot(1)}=\frac{10}{2}=5$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(40)-50}{2\cdot(1)}=\frac{-90}{2}=-45$$ Корень $v=-45$ нарушает ограничение на скорость, поэтому исключается. Корень $v=5$ удовлетворяет ограничению и подходит. Шаг 5. Подставляем скорость и проверяем время каждого участка. $$v_{\text{по}}=15+5=20$$ $$v_{\text{против}}=15-5=10$$ $$t_{\text{по}}=\frac{280}{20}=14$$ $$t_{\text{против}}=\frac{280}{10}=28$$ $$28-14=14$$ Все данные времени совпали. Мы нашли скорость течения, как спрашивается в условии. Ответ: $5$ км/ч.