ФИПИ 598D07 — Движение по воде

Шаг 1. Обозначаем неизвестное и объясняем скорости. Нужно найти скорость течения. Обозначим её v, в км/ч. По течению вода помогает судну: скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения. Против течения вода мешает: скорости вычитаются. $$v_{\text{по}}=v + 9$$ $$v_{\text{против}}=9 - v$$ Обе скорости движения должны быть положительными. Поэтому неизвестное обязано удовлетворять ограничению: $$0<v<9$$ Шаг 2. Определяем время движения и составляем уравнение. Против течения судно движется медленнее и тратит больше времени. По условию это время больше времени обратного движения на 4 ч. Поэтому вычитаем меньшее время из большего: $$\frac{77}{9 - v}-\frac{77}{v + 9}=4$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение двух скоростей. Оно положительно на выбранной области: $$(v + 9)(9 - v)=9^2-9v+9v-v^2$$ Противоположные слагаемые с v уничтожаются. Квадрат известного числа равен: $$9^2=9\cdot9=81$$ $$(v + 9)(9 - v)=81 - v^{2}$$ У каждой дроби домножаем числитель на недостающий множитель, затем объединяем числители: $$\frac{77(v + 9)-77(9 - v)}{81 - v^{2}}=4$$ Раскрываем скобки в числителе. Перед второй скобкой стоит минус, поэтому меняем знаки всех её слагаемых: $$77(v + 9)-77(9 - v)=77\cdot9+77v-77\cdot9+77v$$ Вычисляем числовые произведения и складываем одинаковые слагаемые: $$77\cdot9=693$$ $$77\cdot9+77v-77\cdot9+77v=154 v$$ Умножаем обе части на положительный общий знаменатель: $$154 v=4(81 - v^{2})$$ Раскрываем скобки справа: $$154 v=4\cdot81-4v^2$$ $$4\cdot81=324$$ $$154 v=324 - 4 v^{2}$$ Переносим всё влево, чтобы получить уравнение с нулём справа: $$- 4 v^{2} - 154 v + 324=0$$ Шаг 4. Решаем квадратное уравнение. Делим каждый член на ненулевой общий множитель -2. $$2 v^{2} + 77 v - 162=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=2,\qquad B=77,\qquad C=-162$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(77)^2=5929$$ $$4AC=4\cdot(2)\cdot(-162)=-1296$$ $$D=B^2-4AC=5929-(-1296)=7225$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{7225}=85$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(77)+85}{2\cdot(2)}=\frac{8}{4}=2$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(77)-85}{2\cdot(2)}=\frac{-162}{4}=- \frac{81}{2}$$ Корень $v=- \frac{81}{2}$ нарушает ограничение на скорость, поэтому исключается. Корень $v=2$ удовлетворяет ограничению и подходит. Шаг 5. Подставляем скорость и проверяем время каждого участка. $$v_{\text{по}}=9+2=11$$ $$v_{\text{против}}=9-2=7$$ $$t_{\text{по}}=\frac{77}{11}=7$$ $$t_{\text{против}}=\frac{77}{7}=11$$ $$11-7=4$$ Все данные времени совпали. Мы нашли скорость течения, как спрашивается в условии. Ответ: $2$ км/ч.