Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 468 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 22 км/ч, стоянка длится 3 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 47 часов. Ответ дайте
в км/ч.
Ответ: $4$.
Решение
Шаг 1. Обозначаем неизвестное и объясняем скорости.
Нужно найти скорость течения. Обозначим её v, в км/ч.
По течению вода помогает судну: скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения. Против течения вода мешает: скорости вычитаются.
$$v_{\text{по}}=v + 22$$
$$v_{\text{против}}=22 - v$$
Обе скорости движения должны быть положительными. Поэтому неизвестное обязано удовлетворять ограничению:
$$0<v<22$$
Шаг 2. Определяем время движения и составляем уравнение.
Из общего времени вычитаем стоянку. Во время стоянки судно не проходит путь:
$$47-3=44$$
Время каждого участка равно пути, делённому на скорость. Весь путь туда и обратно включает два участка одинаковой длины:
$$t_{\text{по}}=\frac{468}{v + 22}$$
$$t_{\text{против}}=\frac{468}{22 - v}$$
Их времена складываются:
$$\frac{468}{v + 22}+\frac{468}{22 - v}=44$$
Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю.
Общий знаменатель — произведение двух скоростей. Оно положительно на выбранной области:
$$(v + 22)(22 - v)=22^2-22v+22v-v^2$$
Противоположные слагаемые с v уничтожаются. Квадрат известного числа равен:
$$22^2=22\cdot22=484$$
$$(v + 22)(22 - v)=484 - v^{2}$$
У каждой дроби домножаем числитель на недостающий множитель, затем объединяем числители:
$$\frac{468(22 - v)+468(v + 22)}{484 - v^{2}}=44$$
Раскрываем скобки в числителе. В сумме времён слагаемые с противоположными знаками уничтожаются:
$$468(22 - v)+468(v + 22)=468\cdot22-468v+468\cdot22+468v$$
Вычисляем числовые произведения и складываем одинаковые слагаемые:
$$468\cdot22=10296$$
$$468\cdot22-468v+468\cdot22+468v=20592$$
Умножаем обе части на положительный общий знаменатель:
$$20592=44(484 - v^{2})$$
Раскрываем скобки справа:
$$20592=44\cdot484-44v^2$$
$$44\cdot484=21296$$
$$20592=21296 - 44 v^{2}$$
Переносим всё влево, чтобы получить уравнение с нулём справа:
$$704 - 44 v^{2}=0$$
Шаг 4. Решаем квадратное уравнение.
Делим каждый член на ненулевой общий множитель -44.
$$v^{2} - 16=0$$
Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь:
$$A=1,\qquad B=0,\qquad C=-16$$
Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно:
$$B^2=(0)^2=0$$
$$4AC=4\cdot(1)\cdot(-16)=-64$$
$$D=B^2-4AC=0-(-64)=64$$
Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен:
$$\sqrt D=\sqrt{64}=8$$
Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления:
$$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(0)+8}{2\cdot(1)}=\frac{8}{2}=4$$
$$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(0)-8}{2\cdot(1)}=\frac{-8}{2}=-4$$
Корень $v=-4$ нарушает ограничение на скорость, поэтому исключается.
Корень $v=4$ удовлетворяет ограничению и подходит.
Шаг 5. Подставляем скорость и проверяем время каждого участка.
$$v_{\text{по}}=22+4=26$$
$$v_{\text{против}}=22-4=18$$
$$t_{\text{по}}=\frac{468}{26}=18$$
$$t_{\text{против}}=\frac{468}{18}=26$$
$$18+26=44$$
Возвращаем время стоянки:
$$44+3=47$$
Все данные времени совпали. Мы нашли скорость течения, как спрашивается в условии.
Ответ: $4$ км/ч.