ФИПИ A42A12 — Движение по воде

Шаг 1. Обозначаем неизвестное и объясняем скорости. Нужно найти собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде. Обозначим её v, в км/ч. По течению вода помогает судну: скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения. Против течения вода мешает: скорости вычитаются. $$v_{\text{по}}=v + 1$$ $$v_{\text{против}}=v - 1$$ Обе скорости движения должны быть положительными. Поэтому неизвестное обязано удовлетворять ограничению: $$v>1$$ Шаг 2. Определяем время движения и составляем уравнение. Против течения судно движется медленнее и тратит больше времени. По условию это время больше времени обратного движения на 2 ч. Поэтому вычитаем меньшее время из большего: $$\frac{255}{v - 1}-\frac{255}{v + 1}=2$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение двух скоростей. Оно положительно на выбранной области: $$(v + 1)(v - 1)=v^2-v\cdot1+1v-1^2$$ Противоположные слагаемые с v уничтожаются. Квадрат известного числа равен: $$1^2=1\cdot1=1$$ $$(v + 1)(v - 1)=v^{2} - 1$$ У каждой дроби домножаем числитель на недостающий множитель, затем объединяем числители: $$\frac{255(v + 1)-255(v - 1)}{v^{2} - 1}=2$$ Раскрываем скобки в числителе. Перед второй скобкой стоит минус, поэтому меняем знаки всех её слагаемых: $$255(v + 1)-255(v - 1)=255v+255\cdot1-255v+255\cdot1$$ Вычисляем числовые произведения и складываем одинаковые слагаемые: $$255\cdot1=255$$ $$255v+255\cdot1-255v+255\cdot1=510$$ Умножаем обе части на положительный общий знаменатель: $$510=2(v^{2} - 1)$$ Раскрываем скобки справа: $$510=2v^2-2\cdot1$$ $$2\cdot1=2$$ $$510=2 v^{2} - 2$$ Переносим всё влево, чтобы получить уравнение с нулём справа: $$2 v^{2} - 512=0$$ Шаг 4. Решаем квадратное уравнение. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 2. $$v^{2} - 256=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=0,\qquad C=-256$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(0)^2=0$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-256)=-1024$$ $$D=B^2-4AC=0-(-1024)=1024$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{1024}=32$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(0)+32}{2\cdot(1)}=\frac{32}{2}=16$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(0)-32}{2\cdot(1)}=\frac{-32}{2}=-16$$ Корень $v=-16$ нарушает ограничение на скорость, поэтому исключается. Корень $v=16$ удовлетворяет ограничению и подходит. Шаг 5. Подставляем скорость и проверяем время каждого участка. $$v_{\text{по}}=16+1=17$$ $$v_{\text{против}}=16-1=15$$ $$t_{\text{по}}=\frac{255}{17}=15$$ $$t_{\text{против}}=\frac{255}{15}=17$$ $$17-15=2$$ Все данные времени совпали. Мы нашли собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде, как спрашивается в условии. Ответ: $16$ км/ч.