ФИПИ CF56D0 — Движение по воде

Шаг 1. Обозначаем неизвестное и объясняем скорости. Нужно найти собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде. Обозначим её v, в км/ч. По течению вода помогает судну: скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения. Против течения вода мешает: скорости вычитаются. $$v_{\text{по}}=v + 3$$ $$v_{\text{против}}=v - 3$$ Обе скорости движения должны быть положительными. Поэтому неизвестное обязано удовлетворять ограничению: $$v>3$$ Шаг 2. Определяем время движения и составляем уравнение. Против течения судно движется медленнее и тратит больше времени. По условию это время больше времени обратного движения на 6 ч. Поэтому вычитаем меньшее время из большего: $$\frac{91}{v - 3}-\frac{91}{v + 3}=6$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение двух скоростей. Оно положительно на выбранной области: $$(v + 3)(v - 3)=v^2-v\cdot3+3v-3^2$$ Противоположные слагаемые с v уничтожаются. Квадрат известного числа равен: $$3^2=3\cdot3=9$$ $$(v + 3)(v - 3)=v^{2} - 9$$ У каждой дроби домножаем числитель на недостающий множитель, затем объединяем числители: $$\frac{91(v + 3)-91(v - 3)}{v^{2} - 9}=6$$ Раскрываем скобки в числителе. Перед второй скобкой стоит минус, поэтому меняем знаки всех её слагаемых: $$91(v + 3)-91(v - 3)=91v+91\cdot3-91v+91\cdot3$$ Вычисляем числовые произведения и складываем одинаковые слагаемые: $$91\cdot3=273$$ $$91v+91\cdot3-91v+91\cdot3=546$$ Умножаем обе части на положительный общий знаменатель: $$546=6(v^{2} - 9)$$ Раскрываем скобки справа: $$546=6v^2-6\cdot9$$ $$6\cdot9=54$$ $$546=6 v^{2} - 54$$ Переносим всё влево, чтобы получить уравнение с нулём справа: $$6 v^{2} - 600=0$$ Шаг 4. Решаем квадратное уравнение. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 6. $$v^{2} - 100=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=0,\qquad C=-100$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(0)^2=0$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-100)=-400$$ $$D=B^2-4AC=0-(-400)=400$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{400}=20$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(0)+20}{2\cdot(1)}=\frac{20}{2}=10$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(0)-20}{2\cdot(1)}=\frac{-20}{2}=-10$$ Корень $v=-10$ нарушает ограничение на скорость, поэтому исключается. Корень $v=10$ удовлетворяет ограничению и подходит. Шаг 5. Подставляем скорость и проверяем время каждого участка. $$v_{\text{по}}=10+3=13$$ $$v_{\text{против}}=10-3=7$$ $$t_{\text{по}}=\frac{91}{13}=7$$ $$t_{\text{против}}=\frac{91}{7}=13$$ $$13-7=6$$ Все данные времени совпали. Мы нашли собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде, как спрашивается в условии. Ответ: $10$ км/ч.