ФИПИ F017B1 — Движение по воде

Шаг 1. Обозначаем неизвестное и объясняем скорости. Нужно найти собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде. Обозначим её v, в км/ч. По течению вода помогает судну: скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения. Против течения вода мешает: скорости вычитаются. $$v_{\text{по}}=v + 3$$ $$v_{\text{против}}=v - 3$$ Обе скорости движения должны быть положительными. Поэтому неизвестное обязано удовлетворять ограничению: $$v>3$$ Шаг 2. Определяем время движения и составляем уравнение. Между отправлением и возвращением прошло: $$18-10=8\text{ ч}$$ Из общего времени вычитаем стоянку. Во время стоянки судно не проходит путь: $$8-4=4$$ Время каждого участка равно пути, делённому на скорость. Весь путь туда и обратно включает два участка одинаковой длины: $$t_{\text{по}}=\frac{35}{v + 3}$$ $$t_{\text{против}}=\frac{35}{v - 3}$$ Их времена складываются: $$\frac{35}{v + 3}+\frac{35}{v - 3}=4$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение двух скоростей. Оно положительно на выбранной области: $$(v + 3)(v - 3)=v^2-v\cdot3+3v-3^2$$ Противоположные слагаемые с v уничтожаются. Квадрат известного числа равен: $$3^2=3\cdot3=9$$ $$(v + 3)(v - 3)=v^{2} - 9$$ У каждой дроби домножаем числитель на недостающий множитель, затем объединяем числители: $$\frac{35(v - 3)+35(v + 3)}{v^{2} - 9}=4$$ Раскрываем скобки в числителе. В сумме времён слагаемые с противоположными знаками уничтожаются: $$35(v - 3)+35(v + 3)=35v-35\cdot3+35v+35\cdot3$$ Вычисляем числовые произведения и складываем одинаковые слагаемые: $$35\cdot3=105$$ $$35v-35\cdot3+35v+35\cdot3=70 v$$ Умножаем обе части на положительный общий знаменатель: $$70 v=4(v^{2} - 9)$$ Раскрываем скобки справа: $$70 v=4v^2-4\cdot9$$ $$4\cdot9=36$$ $$70 v=4 v^{2} - 36$$ Переносим всё влево, чтобы получить уравнение с нулём справа: $$4 v^{2} - 70 v - 36=0$$ Шаг 4. Решаем квадратное уравнение. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 2. $$2 v^{2} - 35 v - 18=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=2,\qquad B=-35,\qquad C=-18$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-35)^2=1225$$ $$4AC=4\cdot(2)\cdot(-18)=-144$$ $$D=B^2-4AC=1225-(-144)=1369$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{1369}=37$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-35)+37}{2\cdot(2)}=\frac{72}{4}=18$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-35)-37}{2\cdot(2)}=\frac{-2}{4}=- \frac{1}{2}$$ Корень $v=- \frac{1}{2}$ нарушает ограничение на скорость, поэтому исключается. Корень $v=18$ удовлетворяет ограничению и подходит. Шаг 5. Подставляем скорость и проверяем время каждого участка. $$v_{\text{по}}=18+3=21$$ $$v_{\text{против}}=18-3=15$$ $$t_{\text{по}}=\frac{35}{21}=\frac{5}{3}$$ $$t_{\text{против}}=\frac{35}{15}=\frac{7}{3}$$ $$\frac{5}{3}+\frac{7}{3}=4$$ Возвращаем время стоянки: $$4+4=8$$ Все данные времени совпали. Мы нашли собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде, как спрашивается в условии. Ответ: $18$ км/ч.