ФИПИ F23E04 — Движение по воде

Шаг 1. Обозначаем неизвестное и объясняем скорости. Нужно найти скорость течения. Обозначим её v, в км/ч. По течению вода помогает судну: скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения. Против течения вода мешает: скорости вычитаются. $$v_{\text{по}}=v + 13$$ $$v_{\text{против}}=13 - v$$ Обе скорости движения должны быть положительными. Поэтому неизвестное обязано удовлетворять ограничению: $$0<v<13$$ Шаг 2. Определяем время движения и составляем уравнение. Против течения судно движется медленнее и тратит больше времени. По условию это время больше времени обратного движения на 2 ч. Поэтому вычитаем меньшее время из большего: $$\frac{168}{13 - v}-\frac{168}{v + 13}=2$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение двух скоростей. Оно положительно на выбранной области: $$(v + 13)(13 - v)=13^2-13v+13v-v^2$$ Противоположные слагаемые с v уничтожаются. Квадрат известного числа равен: $$13^2=13\cdot13=169$$ $$(v + 13)(13 - v)=169 - v^{2}$$ У каждой дроби домножаем числитель на недостающий множитель, затем объединяем числители: $$\frac{168(v + 13)-168(13 - v)}{169 - v^{2}}=2$$ Раскрываем скобки в числителе. Перед второй скобкой стоит минус, поэтому меняем знаки всех её слагаемых: $$168(v + 13)-168(13 - v)=168\cdot13+168v-168\cdot13+168v$$ Вычисляем числовые произведения и складываем одинаковые слагаемые: $$168\cdot13=2184$$ $$168\cdot13+168v-168\cdot13+168v=336 v$$ Умножаем обе части на положительный общий знаменатель: $$336 v=2(169 - v^{2})$$ Раскрываем скобки справа: $$336 v=2\cdot169-2v^2$$ $$2\cdot169=338$$ $$336 v=338 - 2 v^{2}$$ Переносим всё влево, чтобы получить уравнение с нулём справа: $$- 2 v^{2} - 336 v + 338=0$$ Шаг 4. Решаем квадратное уравнение. Делим каждый член на ненулевой общий множитель -2. $$v^{2} + 168 v - 169=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=168,\qquad C=-169$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(168)^2=28224$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-169)=-676$$ $$D=B^2-4AC=28224-(-676)=28900$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{28900}=170$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(168)+170}{2\cdot(1)}=\frac{2}{2}=1$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(168)-170}{2\cdot(1)}=\frac{-338}{2}=-169$$ Корень $v=-169$ нарушает ограничение на скорость, поэтому исключается. Корень $v=1$ удовлетворяет ограничению и подходит. Шаг 5. Подставляем скорость и проверяем время каждого участка. $$v_{\text{по}}=13+1=14$$ $$v_{\text{против}}=13-1=12$$ $$t_{\text{по}}=\frac{168}{14}=12$$ $$t_{\text{против}}=\frac{168}{12}=14$$ $$14-12=2$$ Все данные времени совпали. Мы нашли скорость течения, как спрашивается в условии. Ответ: $1$ км/ч.