ФИПИ 33D8E1 — Движение по воде

Шаг 1. Обозначаем неизвестное и объясняем скорости. Нужно найти скорость течения. Обозначим её v, в км/ч. По течению вода помогает судну: скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения. Против течения вода мешает: скорости вычитаются. $$v_{\text{по}}=v + 9$$ $$v_{\text{против}}=9 - v$$ Обе скорости движения должны быть положительными. Поэтому неизвестное обязано удовлетворять ограничению: $$0<v<9$$ Шаг 2. Определяем время движения и составляем уравнение. Против течения судно движется медленнее и тратит больше времени. По условию это время больше времени обратного движения на 6 ч. Поэтому вычитаем меньшее время из большего: $$\frac{72}{9 - v}-\frac{72}{v + 9}=6$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение двух скоростей. Оно положительно на выбранной области: $$(v + 9)(9 - v)=9^2-9v+9v-v^2$$ Противоположные слагаемые с v уничтожаются. Квадрат известного числа равен: $$9^2=9\cdot9=81$$ $$(v + 9)(9 - v)=81 - v^{2}$$ У каждой дроби домножаем числитель на недостающий множитель, затем объединяем числители: $$\frac{72(v + 9)-72(9 - v)}{81 - v^{2}}=6$$ Раскрываем скобки в числителе. Перед второй скобкой стоит минус, поэтому меняем знаки всех её слагаемых: $$72(v + 9)-72(9 - v)=72\cdot9+72v-72\cdot9+72v$$ Вычисляем числовые произведения и складываем одинаковые слагаемые: $$72\cdot9=648$$ $$72\cdot9+72v-72\cdot9+72v=144 v$$ Умножаем обе части на положительный общий знаменатель: $$144 v=6(81 - v^{2})$$ Раскрываем скобки справа: $$144 v=6\cdot81-6v^2$$ $$6\cdot81=486$$ $$144 v=486 - 6 v^{2}$$ Переносим всё влево, чтобы получить уравнение с нулём справа: $$- 6 v^{2} - 144 v + 486=0$$ Шаг 4. Решаем квадратное уравнение. Делим каждый член на ненулевой общий множитель -6. $$v^{2} + 24 v - 81=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=24,\qquad C=-81$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(24)^2=576$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-81)=-324$$ $$D=B^2-4AC=576-(-324)=900$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{900}=30$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(24)+30}{2\cdot(1)}=\frac{6}{2}=3$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(24)-30}{2\cdot(1)}=\frac{-54}{2}=-27$$ Корень $v=-27$ нарушает ограничение на скорость, поэтому исключается. Корень $v=3$ удовлетворяет ограничению и подходит. Шаг 5. Подставляем скорость и проверяем время каждого участка. $$v_{\text{по}}=9+3=12$$ $$v_{\text{против}}=9-3=6$$ $$t_{\text{по}}=\frac{72}{12}=6$$ $$t_{\text{против}}=\frac{72}{6}=12$$ $$12-6=6$$ Все данные времени совпали. Мы нашли скорость течения, как спрашивается в условии. Ответ: $3$ км/ч.