ФИПИ 720230 — Движение по воде

Шаг 1. Обозначаем неизвестное и объясняем скорости. Нужно найти собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде. Обозначим её v, в км/ч. По течению вода помогает судну: скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения. Против течения вода мешает: скорости вычитаются. $$v_{\text{по}}=v + 1$$ $$v_{\text{против}}=v - 1$$ Обе скорости движения должны быть положительными. Поэтому неизвестное обязано удовлетворять ограничению: $$v>1$$ Шаг 2. Определяем время движения и составляем уравнение. Из общего времени вычитаем стоянку. Во время стоянки судно не проходит путь: $$20-1=19$$ Время каждого участка равно пути, делённому на скорость. Весь путь туда и обратно включает два участка одинаковой длины: $$t_{\text{по}}=\frac{180}{v + 1}$$ $$t_{\text{против}}=\frac{180}{v - 1}$$ Их времена складываются: $$\frac{180}{v + 1}+\frac{180}{v - 1}=19$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение двух скоростей. Оно положительно на выбранной области: $$(v + 1)(v - 1)=v^2-v\cdot1+1v-1^2$$ Противоположные слагаемые с v уничтожаются. Квадрат известного числа равен: $$1^2=1\cdot1=1$$ $$(v + 1)(v - 1)=v^{2} - 1$$ У каждой дроби домножаем числитель на недостающий множитель, затем объединяем числители: $$\frac{180(v - 1)+180(v + 1)}{v^{2} - 1}=19$$ Раскрываем скобки в числителе. В сумме времён слагаемые с противоположными знаками уничтожаются: $$180(v - 1)+180(v + 1)=180v-180\cdot1+180v+180\cdot1$$ Вычисляем числовые произведения и складываем одинаковые слагаемые: $$180\cdot1=180$$ $$180v-180\cdot1+180v+180\cdot1=360 v$$ Умножаем обе части на положительный общий знаменатель: $$360 v=19(v^{2} - 1)$$ Раскрываем скобки справа: $$360 v=19v^2-19\cdot1$$ $$19\cdot1=19$$ $$360 v=19 v^{2} - 19$$ Переносим всё влево, чтобы получить уравнение с нулём справа: $$19 v^{2} - 360 v - 19=0$$ Шаг 4. Решаем квадратное уравнение. Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=19,\qquad B=-360,\qquad C=-19$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-360)^2=129600$$ $$4AC=4\cdot(19)\cdot(-19)=-1444$$ $$D=B^2-4AC=129600-(-1444)=131044$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{131044}=362$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-360)+362}{2\cdot(19)}=\frac{722}{38}=19$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-360)-362}{2\cdot(19)}=\frac{-2}{38}=- \frac{1}{19}$$ Корень $v=- \frac{1}{19}$ нарушает ограничение на скорость, поэтому исключается. Корень $v=19$ удовлетворяет ограничению и подходит. Шаг 5. Подставляем скорость и проверяем время каждого участка. $$v_{\text{по}}=19+1=20$$ $$v_{\text{против}}=19-1=18$$ $$t_{\text{по}}=\frac{180}{20}=9$$ $$t_{\text{против}}=\frac{180}{18}=10$$ $$9+10=19$$ Возвращаем время стоянки: $$19+1=20$$ Все данные времени совпали. Мы нашли собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде, как спрашивается в условии. Ответ: $19$ км/ч.