ФИПИ BCABB7 — Движение по воде

Шаг 1. Обозначаем неизвестное и объясняем скорости. Нужно найти собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде. Обозначим её v, в км/ч. По течению вода помогает судну: скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения. Против течения вода мешает: скорости вычитаются. $$v_{\text{по}}=v + 3$$ $$v_{\text{против}}=v - 3$$ Обе скорости движения должны быть положительными. Поэтому неизвестное обязано удовлетворять ограничению: $$v>3$$ Шаг 2. Определяем время движения и составляем уравнение. Между отправлением и возвращением прошло: $$16-10=6\text{ ч}$$ Из общего времени вычитаем стоянку. Во время стоянки судно не проходит путь: $$6-3=3$$ Время каждого участка равно пути, делённому на скорость. Весь путь туда и обратно включает два участка одинаковой длины: $$t_{\text{по}}=\frac{40}{v + 3}$$ $$t_{\text{против}}=\frac{40}{v - 3}$$ Их времена складываются: $$\frac{40}{v + 3}+\frac{40}{v - 3}=3$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение двух скоростей. Оно положительно на выбранной области: $$(v + 3)(v - 3)=v^2-v\cdot3+3v-3^2$$ Противоположные слагаемые с v уничтожаются. Квадрат известного числа равен: $$3^2=3\cdot3=9$$ $$(v + 3)(v - 3)=v^{2} - 9$$ У каждой дроби домножаем числитель на недостающий множитель, затем объединяем числители: $$\frac{40(v - 3)+40(v + 3)}{v^{2} - 9}=3$$ Раскрываем скобки в числителе. В сумме времён слагаемые с противоположными знаками уничтожаются: $$40(v - 3)+40(v + 3)=40v-40\cdot3+40v+40\cdot3$$ Вычисляем числовые произведения и складываем одинаковые слагаемые: $$40\cdot3=120$$ $$40v-40\cdot3+40v+40\cdot3=80 v$$ Умножаем обе части на положительный общий знаменатель: $$80 v=3(v^{2} - 9)$$ Раскрываем скобки справа: $$80 v=3v^2-3\cdot9$$ $$3\cdot9=27$$ $$80 v=3 v^{2} - 27$$ Переносим всё влево, чтобы получить уравнение с нулём справа: $$3 v^{2} - 80 v - 27=0$$ Шаг 4. Решаем квадратное уравнение. Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=3,\qquad B=-80,\qquad C=-27$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-80)^2=6400$$ $$4AC=4\cdot(3)\cdot(-27)=-324$$ $$D=B^2-4AC=6400-(-324)=6724$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{6724}=82$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-80)+82}{2\cdot(3)}=\frac{162}{6}=27$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-80)-82}{2\cdot(3)}=\frac{-2}{6}=- \frac{1}{3}$$ Корень $v=- \frac{1}{3}$ нарушает ограничение на скорость, поэтому исключается. Корень $v=27$ удовлетворяет ограничению и подходит. Шаг 5. Подставляем скорость и проверяем время каждого участка. $$v_{\text{по}}=27+3=30$$ $$v_{\text{против}}=27-3=24$$ $$t_{\text{по}}=\frac{40}{30}=\frac{4}{3}$$ $$t_{\text{против}}=\frac{40}{24}=\frac{5}{3}$$ $$\frac{4}{3}+\frac{5}{3}=3$$ Возвращаем время стоянки: $$3+3=6$$ Все данные времени совпали. Мы нашли собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде, как спрашивается в условии. Ответ: $27$ км/ч.