Задание №10 ЕГЭ по математике: Текстовые задачи

Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем. Обозначим меньшую производительность через v. Тогда большая равна v+2. Обе величины положительны, поэтому v>0. Нужно найти большую производительность. Сначала определим v; в конце прибавим к нему разницу 2. На один и тот же объём работы требуется тем меньше времени, чем больше производительность. Время находится делением объёма на производительность: $$t=\frac{V}{v}$$ Для меньшей величины время равно: $$t_{\text{медл}}=\frac{323}{v}$$ Для большей величины время равно: $$t_{\text{быстр}}=\frac{323}{v+2}$$ Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение. Более медленное выполнение длится дольше. Поэтому из большего времени вычитаем меньшее; разность по условию равна 2 ч. $$\frac{323}v-\frac{323}{v+2}=2$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение v(v+2). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+2, во второй — на v: $$\frac{323(v+2)-323v}{v(v+2)}=2$$ Раскрываем скобки в числителе: $$323(v+2)-323v=323v+323\cdot2-323v$$ Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение: $$323\cdot2=646$$ $$\frac{646}{v(v+2)}=2$$ Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него: $$646=2v(v+2)$$ Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 2: $$v(v+2)=v^2+2v$$ $$646=2v^2+2\cdot2v$$ $$2\cdot2=4$$ Переносим число влево и получаем квадратное уравнение: $$2 v^{2} + 4 v - 646=0$$ Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 2. $$v^{2} + 2 v - 323=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=2,\qquad C=-323$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(2)^2=4$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-323)=-1292$$ $$D=B^2-4AC=4-(-1292)=1296$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{1296}=36$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(2)+36}{2\cdot(1)}=\frac{34}{2}=17$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(2)-36}{2\cdot(1)}=\frac{-38}{2}=-19$$ Значение $v=-19$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем. Значение $v=17$ положительно, поэтому подходит. Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена. $$v_{\text{медл}}=17$$ $$v_{\text{быстр}}=17+2=19$$ $$t_{\text{медл}}=\frac{323}{17}=19$$ $$t_{\text{быстр}}=\frac{323}{19}=17$$ $$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=19-17=2$$ Разница совпала с условием. Спрашивается большая производительность, поэтому выбираем 19 деталей/ч. Ответ: $19$ деталей/ч.

Шаг 1. Обозначаем неизвестное и объясняем скорости. Нужно найти собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде. Обозначим её v, в км/ч. По течению вода помогает судну: скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения. Против течения вода мешает: скорости вычитаются. $$v_{\text{по}}=v + 2$$ $$v_{\text{против}}=v - 2$$ Обе скорости движения должны быть положительными. Поэтому неизвестное обязано удовлетворять ограничению: $$v>2$$ Шаг 2. Определяем время движения и составляем уравнение. Из общего времени вычитаем стоянку. Во время стоянки судно не проходит путь: $$13-4=9$$ Время каждого участка равно пути, делённому на скорость. Весь путь туда и обратно включает два участка одинаковой длины: $$t_{\text{по}}=\frac{80}{v + 2}$$ $$t_{\text{против}}=\frac{80}{v - 2}$$ Их времена складываются: $$\frac{80}{v + 2}+\frac{80}{v - 2}=9$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение двух скоростей. Оно положительно на выбранной области: $$(v + 2)(v - 2)=v^2-v\cdot2+2v-2^2$$ Противоположные слагаемые с v уничтожаются. Квадрат известного числа равен: $$2^2=2\cdot2=4$$ $$(v + 2)(v - 2)=v^{2} - 4$$ У каждой дроби домножаем числитель на недостающий множитель, затем объединяем числители: $$\frac{80(v - 2)+80(v + 2)}{v^{2} - 4}=9$$ Раскрываем скобки в числителе. В сумме времён слагаемые с противоположными знаками уничтожаются: $$80(v - 2)+80(v + 2)=80v-80\cdot2+80v+80\cdot2$$ Вычисляем числовые произведения и складываем одинаковые слагаемые: $$80\cdot2=160$$ $$80v-80\cdot2+80v+80\cdot2=160 v$$ Умножаем обе части на положительный общий знаменатель: $$160 v=9(v^{2} - 4)$$ Раскрываем скобки справа: $$160 v=9v^2-9\cdot4$$ $$9\cdot4=36$$ $$160 v=9 v^{2} - 36$$ Переносим всё влево, чтобы получить уравнение с нулём справа: $$9 v^{2} - 160 v - 36=0$$ Шаг 4. Решаем квадратное уравнение. Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=9,\qquad B=-160,\qquad C=-36$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-160)^2=25600$$ $$4AC=4\cdot(9)\cdot(-36)=-1296$$ $$D=B^2-4AC=25600-(-1296)=26896$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{26896}=164$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-160)+164}{2\cdot(9)}=\frac{324}{18}=18$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-160)-164}{2\cdot(9)}=\frac{-4}{18}=- \frac{2}{9}$$ Корень $v=- \frac{2}{9}$ нарушает ограничение на скорость, поэтому исключается. Корень $v=18$ удовлетворяет ограничению и подходит. Шаг 5. Подставляем скорость и проверяем время каждого участка. $$v_{\text{по}}=18+2=20$$ $$v_{\text{против}}=18-2=16$$ $$t_{\text{по}}=\frac{80}{20}=4$$ $$t_{\text{против}}=\frac{80}{16}=5$$ $$4+5=9$$ Возвращаем время стоянки: $$9+4=13$$ Все данные времени совпали. Мы нашли собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде, как спрашивается в условии. Ответ: $18$ км/ч.

Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем. Обозначим меньшую производительность через v. Тогда большая равна v+8. Обе величины положительны, поэтому v>0. Нужно найти меньшую производительность. Сначала определим v; это и будет искомая величина. На один и тот же объём работы требуется тем меньше времени, чем больше производительность. Время находится делением объёма на производительность: $$t=\frac{V}{v}$$ Для меньшей величины время равно: $$t_{\text{медл}}=\frac{209}{v}$$ Для большей величины время равно: $$t_{\text{быстр}}=\frac{209}{v+8}$$ Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение. Более медленное выполнение длится дольше. Поэтому из большего времени вычитаем меньшее; разность по условию равна 8 ч. $$\frac{209}v-\frac{209}{v+8}=8$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение v(v+8). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+8, во второй — на v: $$\frac{209(v+8)-209v}{v(v+8)}=8$$ Раскрываем скобки в числителе: $$209(v+8)-209v=209v+209\cdot8-209v$$ Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение: $$209\cdot8=1672$$ $$\frac{1672}{v(v+8)}=8$$ Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него: $$1672=8v(v+8)$$ Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 8: $$v(v+8)=v^2+8v$$ $$1672=8v^2+8\cdot8v$$ $$8\cdot8=64$$ Переносим число влево и получаем квадратное уравнение: $$8 v^{2} + 64 v - 1672=0$$ Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 8. $$v^{2} + 8 v - 209=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=8,\qquad C=-209$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(8)^2=64$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-209)=-836$$ $$D=B^2-4AC=64-(-836)=900$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{900}=30$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(8)+30}{2\cdot(1)}=\frac{22}{2}=11$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(8)-30}{2\cdot(1)}=\frac{-38}{2}=-19$$ Значение $v=-19$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем. Значение $v=11$ положительно, поэтому подходит. Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена. $$v_{\text{медл}}=11$$ $$v_{\text{быстр}}=11+8=19$$ $$t_{\text{медл}}=\frac{209}{11}=19$$ $$t_{\text{быстр}}=\frac{209}{19}=11$$ $$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=19-11=8$$ Разница совпала с условием. Спрашивается меньшая производительность, поэтому выбираем 11 деталей/ч. Ответ: $11$ деталей/ч.

Шаг 1. Выбираем правильную формулу средней скорости. Средняя скорость — весь пройденный путь, делённый на всё затраченное время. Складывать скорости и делить на количество участков нельзя: участки могут иметь разную длительность. $$v_{\text{ср}}=\frac{S_{\text{весь}}}{t_{\text{всё}}}$$ Шаг 2. Считаем путь и время для каждого участка. На участке 1 известны время 1 ч и скорость 115 км/ч. Путь равен их произведению: $$S_1=115\cdot1=115$$ На участке 2 известны время 3 ч и скорость 45 км/ч. Путь равен их произведению: $$S_2=45\cdot3=135$$ На участке 3 известны время 2 ч и скорость 40 км/ч. Путь равен их произведению: $$S_3=40\cdot2=80$$ Шаг 3. Складываем пути и времена. Все времена выражены в часах: $$S_{\text{весь}}=115+135+80=330$$ $$t_{\text{всё}}=1+3+2=6$$ Шаг 4. Делим весь путь на всё время. Если время записано дробью, деление заменяем умножением на обратную дробь: $$v_{\text{ср}}=\frac{330}{6}=330\cdot\frac{1}{6}=55$$ Проверка: средняя скорость находится между наименьшей и наибольшей скоростями отдельных участков. Ответ: $55$ км/ч.

Шаг 1. Выбираем правильную формулу средней скорости. Средняя скорость — весь пройденный путь, делённый на всё затраченное время. Складывать скорости и делить на количество участков нельзя: участки могут иметь разную длительность. $$v_{\text{ср}}=\frac{S_{\text{весь}}}{t_{\text{всё}}}$$ Шаг 2. Считаем путь и время для каждого участка. На участке 1 известны время 1 ч и скорость 120 км/ч. Путь равен их произведению: $$S_1=120\cdot1=120$$ На участке 2 известны время 3 ч и скорость 105 км/ч. Путь равен их произведению: $$S_2=105\cdot3=315$$ На участке 3 известны время 3 ч и скорость 65 км/ч. Путь равен их произведению: $$S_3=65\cdot3=195$$ Шаг 3. Складываем пути и времена. Все времена выражены в часах: $$S_{\text{весь}}=120+315+195=630$$ $$t_{\text{всё}}=1+3+3=7$$ Шаг 4. Делим весь путь на всё время. Если время записано дробью, деление заменяем умножением на обратную дробь: $$v_{\text{ср}}=\frac{630}{7}=630\cdot\frac{1}{7}=90$$ Проверка: средняя скорость находится между наименьшей и наибольшей скоростями отдельных участков. Ответ: $90$ км/ч.

Шаг 1. Обозначаем неизвестное и объясняем скорости. Нужно найти собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде. Обозначим её v, в км/ч. По течению вода помогает судну: скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения. Против течения вода мешает: скорости вычитаются. $$v_{\text{по}}=v + 3$$ $$v_{\text{против}}=v - 3$$ Обе скорости движения должны быть положительными. Поэтому неизвестное обязано удовлетворять ограничению: $$v>3$$ Шаг 2. Определяем время движения и составляем уравнение. Из общего времени вычитаем стоянку. Во время стоянки судно не проходит путь: $$54-6=48$$ Время каждого участка равно пути, делённому на скорость. Весь путь туда и обратно включает два участка одинаковой длины: $$t_{\text{по}}=\frac{567}{v + 3}$$ $$t_{\text{против}}=\frac{567}{v - 3}$$ Их времена складываются: $$\frac{567}{v + 3}+\frac{567}{v - 3}=48$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение двух скоростей. Оно положительно на выбранной области: $$(v + 3)(v - 3)=v^2-v\cdot3+3v-3^2$$ Противоположные слагаемые с v уничтожаются. Квадрат известного числа равен: $$3^2=3\cdot3=9$$ $$(v + 3)(v - 3)=v^{2} - 9$$ У каждой дроби домножаем числитель на недостающий множитель, затем объединяем числители: $$\frac{567(v - 3)+567(v + 3)}{v^{2} - 9}=48$$ Раскрываем скобки в числителе. В сумме времён слагаемые с противоположными знаками уничтожаются: $$567(v - 3)+567(v + 3)=567v-567\cdot3+567v+567\cdot3$$ Вычисляем числовые произведения и складываем одинаковые слагаемые: $$567\cdot3=1701$$ $$567v-567\cdot3+567v+567\cdot3=1134 v$$ Умножаем обе части на положительный общий знаменатель: $$1134 v=48(v^{2} - 9)$$ Раскрываем скобки справа: $$1134 v=48v^2-48\cdot9$$ $$48\cdot9=432$$ $$1134 v=48 v^{2} - 432$$ Переносим всё влево, чтобы получить уравнение с нулём справа: $$48 v^{2} - 1134 v - 432=0$$ Шаг 4. Решаем квадратное уравнение. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 6. $$8 v^{2} - 189 v - 72=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=8,\qquad B=-189,\qquad C=-72$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-189)^2=35721$$ $$4AC=4\cdot(8)\cdot(-72)=-2304$$ $$D=B^2-4AC=35721-(-2304)=38025$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{38025}=195$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-189)+195}{2\cdot(8)}=\frac{384}{16}=24$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-189)-195}{2\cdot(8)}=\frac{-6}{16}=- \frac{3}{8}$$ Корень $v=- \frac{3}{8}$ нарушает ограничение на скорость, поэтому исключается. Корень $v=24$ удовлетворяет ограничению и подходит. Шаг 5. Подставляем скорость и проверяем время каждого участка. $$v_{\text{по}}=24+3=27$$ $$v_{\text{против}}=24-3=21$$ $$t_{\text{по}}=\frac{567}{27}=21$$ $$t_{\text{против}}=\frac{567}{21}=27$$ $$21+27=48$$ Возвращаем время стоянки: $$48+6=54$$ Все данные времени совпали. Мы нашли собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде, как спрашивается в условии. Ответ: $24$ км/ч.

Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем. Обозначим меньшую производительность через v. Тогда большая равна v+6. Обе величины положительны, поэтому v>0. Нужно найти большую производительность. Сначала определим v; в конце прибавим к нему разницу 6. На один и тот же объём работы требуется тем меньше времени, чем больше производительность. Время находится делением объёма на производительность: $$t=\frac{V}{v}$$ Для меньшей величины время равно: $$t_{\text{медл}}=\frac{112}{v}$$ Для большей величины время равно: $$t_{\text{быстр}}=\frac{112}{v+6}$$ Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение. Более медленное выполнение длится дольше. Поэтому из большего времени вычитаем меньшее; разность по условию равна 6 мин. $$\frac{112}v-\frac{112}{v+6}=6$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение v(v+6). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+6, во второй — на v: $$\frac{112(v+6)-112v}{v(v+6)}=6$$ Раскрываем скобки в числителе: $$112(v+6)-112v=112v+112\cdot6-112v$$ Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение: $$112\cdot6=672$$ $$\frac{672}{v(v+6)}=6$$ Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него: $$672=6v(v+6)$$ Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 6: $$v(v+6)=v^2+6v$$ $$672=6v^2+6\cdot6v$$ $$6\cdot6=36$$ Переносим число влево и получаем квадратное уравнение: $$6 v^{2} + 36 v - 672=0$$ Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 6. $$v^{2} + 6 v - 112=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=6,\qquad C=-112$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(6)^2=36$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-112)=-448$$ $$D=B^2-4AC=36-(-448)=484$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{484}=22$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(6)+22}{2\cdot(1)}=\frac{16}{2}=8$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(6)-22}{2\cdot(1)}=\frac{-28}{2}=-14$$ Значение $v=-14$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем. Значение $v=8$ положительно, поэтому подходит. Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена. $$v_{\text{медл}}=8$$ $$v_{\text{быстр}}=8+6=14$$ $$t_{\text{медл}}=\frac{112}{8}=14$$ $$t_{\text{быстр}}=\frac{112}{14}=8$$ $$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=14-8=6$$ Разница совпала с условием. Спрашивается большая производительность, поэтому выбираем 14 л/мин. Ответ: $14$ л/мин.

Шаг 1. Обозначаем путь в одну сторону через d, в километрах. Спрашивается путь за весь рейс: туда и обратно. После нахождения d нужно будет умножить его на 2. Шаг 2. Определяем скорости и время движения. По течению скорости складываются, против течения вычитаются: $$v_{\text{по}}=27+1=28$$ $$v_{\text{против}}=27-1=26$$ Из 32 ч рейса 5 ч занимает стоянка. Для самого движения остаётся: $$32-5=27$$ Время равно пути, делённому на скорость, поэтому два времени в сумме дают 27 ч: $$\frac d{28}+\frac d{26}=27$$ Шаг 3. Умножаем обе части на общий знаменатель 28·26. Числитель первой дроби умножается на 26, второй — на 28: $$26d+28d=27\cdot28\cdot26$$ Складываем коэффициенты и вычисляем правую часть: $$26+28=54$$ $$28\cdot26=728$$ $$27\cdot728=19656$$ $$54d=19656$$ Делим обе части на 54: $$d=\frac{19656}{54}=364$$ Шаг 4. Проверяем времена и находим весь путь: $$\frac{364}{28}=13$$ $$\frac{364}{26}=14$$ $$13+14+5=32$$ Время совпало с условием. Путь туда и обратно: $$S=2d=2\cdot364=728$$ Ответ: $728$ км.

Шаг 1. Обозначаем неизвестное и объясняем скорости. Нужно найти скорость течения. Обозначим её v, в км/ч. По течению вода помогает судну: скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения. Против течения вода мешает: скорости вычитаются. $$v_{\text{по}}=v + 15$$ $$v_{\text{против}}=15 - v$$ Обе скорости движения должны быть положительными. Поэтому неизвестное обязано удовлетворять ограничению: $$0<v<15$$ Шаг 2. Определяем время движения и составляем уравнение. Против течения судно движется медленнее и тратит больше времени. По условию это время больше времени обратного движения на 14 ч. Поэтому вычитаем меньшее время из большего: $$\frac{280}{15 - v}-\frac{280}{v + 15}=14$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение двух скоростей. Оно положительно на выбранной области: $$(v + 15)(15 - v)=15^2-15v+15v-v^2$$ Противоположные слагаемые с v уничтожаются. Квадрат известного числа равен: $$15^2=15\cdot15=225$$ $$(v + 15)(15 - v)=225 - v^{2}$$ У каждой дроби домножаем числитель на недостающий множитель, затем объединяем числители: $$\frac{280(v + 15)-280(15 - v)}{225 - v^{2}}=14$$ Раскрываем скобки в числителе. Перед второй скобкой стоит минус, поэтому меняем знаки всех её слагаемых: $$280(v + 15)-280(15 - v)=280\cdot15+280v-280\cdot15+280v$$ Вычисляем числовые произведения и складываем одинаковые слагаемые: $$280\cdot15=4200$$ $$280\cdot15+280v-280\cdot15+280v=560 v$$ Умножаем обе части на положительный общий знаменатель: $$560 v=14(225 - v^{2})$$ Раскрываем скобки справа: $$560 v=14\cdot225-14v^2$$ $$14\cdot225=3150$$ $$560 v=3150 - 14 v^{2}$$ Переносим всё влево, чтобы получить уравнение с нулём справа: $$- 14 v^{2} - 560 v + 3150=0$$ Шаг 4. Решаем квадратное уравнение. Делим каждый член на ненулевой общий множитель -14. $$v^{2} + 40 v - 225=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=40,\qquad C=-225$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(40)^2=1600$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-225)=-900$$ $$D=B^2-4AC=1600-(-900)=2500$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{2500}=50$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(40)+50}{2\cdot(1)}=\frac{10}{2}=5$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(40)-50}{2\cdot(1)}=\frac{-90}{2}=-45$$ Корень $v=-45$ нарушает ограничение на скорость, поэтому исключается. Корень $v=5$ удовлетворяет ограничению и подходит. Шаг 5. Подставляем скорость и проверяем время каждого участка. $$v_{\text{по}}=15+5=20$$ $$v_{\text{против}}=15-5=10$$ $$t_{\text{по}}=\frac{280}{20}=14$$ $$t_{\text{против}}=\frac{280}{10}=28$$ $$28-14=14$$ Все данные времени совпали. Мы нашли скорость течения, как спрашивается в условии. Ответ: $5$ км/ч.

Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем. Обозначим скорость второго, более медленного велосипедиста через $v$, в км/ч. Скорость первого, более быстрого велосипедиста тогда равна $v+9$, в км/ч. Обе величины положительны, поэтому v>0. Нужно найти большую скорость. Сначала определим v; в конце прибавим к нему разницу 9. На один и тот же путь требуется тем меньше времени, чем больше скорость. Время находится делением пути на скорость: $$t=\frac{S}{v}$$ Время второго, более медленного велосипедиста: $$t_{\text{медл}}=\frac{190}{v}$$ Время первого, более быстрого велосипедиста: $$t_{\text{быстр}}=\frac{190}{v+9}$$ Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение. Более медленный велосипедист тратит на тот же путь больше времени. Поэтому из большего времени вычитаем меньшее; разность по условию равна 9 ч. $$\frac{190}v-\frac{190}{v+9}=9$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение v(v+9). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+9, во второй — на v: $$\frac{190(v+9)-190v}{v(v+9)}=9$$ Раскрываем скобки в числителе: $$190(v+9)-190v=190v+190\cdot9-190v$$ Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение: $$190\cdot9=1710$$ $$\frac{1710}{v(v+9)}=9$$ Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него: $$1710=9v(v+9)$$ Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 9: $$v(v+9)=v^2+9v$$ $$1710=9v^2+9\cdot9v$$ $$9\cdot9=81$$ Переносим число влево и получаем квадратное уравнение: $$9 v^{2} + 81 v - 1710=0$$ Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 9. $$v^{2} + 9 v - 190=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=9,\qquad C=-190$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(9)^2=81$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-190)=-760$$ $$D=B^2-4AC=81-(-760)=841$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{841}=29$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(9)+29}{2\cdot(1)}=\frac{20}{2}=10$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(9)-29}{2\cdot(1)}=\frac{-38}{2}=-19$$ Значение $v=-19$ неположительно, поэтому не может быть скоростью велосипедиста. Его исключаем. Значение $v=10$ положительно, поэтому подходит. Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена. $$v_{\text{медл}}=10$$ $$v_{\text{быстр}}=10+9=19$$ $$t_{\text{медл}}=\frac{190}{10}=19$$ $$t_{\text{быстр}}=\frac{190}{19}=10$$ $$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=19-10=9$$ Разница совпала с условием. Спрашивается большая скорость, поэтому выбираем 19 км/ч. Ответ: $19$ км/ч.

Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем. Обозначим меньшую скорость через v. Тогда большая равна v+1. Обе величины положительны, поэтому v>0. Нужно найти меньшую скорость. Сначала определим v; это и будет искомая величина. На один и тот же путь требуется тем меньше времени, чем больше скорость. Время находится делением пути на скорость: $$t=\frac{S}{v}$$ Для меньшей величины время равно: $$t_{\text{медл}}=\frac{288}{v}$$ Для большей величины время равно: $$t_{\text{быстр}}=\frac{288}{v+1}$$ Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение. На обратном пути скорость больше, но есть остановка. Общая длительность туда и обратно одинакова. Поэтому само движение обратно должно быть короче ровно на длительность остановки. $$\frac{288}v-\frac{288}{v+1}=4$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение v(v+1). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+1, во второй — на v: $$\frac{288(v+1)-288v}{v(v+1)}=4$$ Раскрываем скобки в числителе: $$288(v+1)-288v=288v+288\cdot1-288v$$ Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение: $$288\cdot1=288$$ $$\frac{288}{v(v+1)}=4$$ Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него: $$288=4v(v+1)$$ Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 4: $$v(v+1)=v^2+1v$$ $$288=4v^2+4\cdot1v$$ $$4\cdot1=4$$ Переносим число влево и получаем квадратное уравнение: $$4 v^{2} + 4 v - 288=0$$ Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 4. $$v^{2} + v - 72=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=1,\qquad C=-72$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(1)^2=1$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-72)=-288$$ $$D=B^2-4AC=1-(-288)=289$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{289}=17$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(1)+17}{2\cdot(1)}=\frac{16}{2}=8$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(1)-17}{2\cdot(1)}=\frac{-18}{2}=-9$$ Значение $v=-9$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем. Значение $v=8$ положительно, поэтому подходит. Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена. $$v_{\text{медл}}=8$$ $$v_{\text{быстр}}=8+1=9$$ $$t_{\text{медл}}=\frac{288}{8}=36$$ $$t_{\text{быстр}}=\frac{288}{9}=32$$ $$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=36-32=4$$ Разница совпала с условием. Спрашивается меньшая скорость, поэтому выбираем 8 км/ч. Ответ: $8$ км/ч.

Шаг 1. Обозначаем массы и переводим проценты в доли. Пусть масса меньшего сплава равна v кг. Тогда масса большего равна v+90 кг. При смешивании складываются и массы сплавов, и содержащаяся в них медь. $$m_1=v$$ $$m_2=v + 90$$ $$m_{\text{смесь}}=2 v + 90$$ Процент — одна сотая часть. Поэтому доли меди равны: $$60\%=\frac{60}{100}=0{,}6$$ $$10\%=\frac{10}{100}=0{,}1$$ $$20\%=\frac{20}{100}=0{,}2$$ Шаг 2. Записываем сохранение массы меди. Масса меди в каждом сплаве равна доле меди, умноженной на массу сплава. Сумма этих двух масс равна массе меди в смеси: $$0{,}6(v)+0{,}1(v + 90)=0{,}2(2 v + 90)$$ Шаг 3. Раскрываем каждую скобку: умножаем долю на оба слагаемых. $$0{,}6(v)=0{,}6\cdot1v+0{,}6\cdot0=\frac{3 v}{5}$$ $$0{,}1(v + 90)=0{,}1\cdot1v+0{,}1\cdot90=\frac{v}{10} + 9$$ $$0{,}2(2 v + 90)=0{,}2\cdot2v+0{,}2\cdot90=\frac{2 v}{5} + 18$$ Складываем слагаемые в левой части: $$\frac{7 v}{10} + 9=\frac{2 v}{5} + 18$$ Переносим все слагаемые с v влево, все числа вправо: $$\frac{3 v}{10}=9$$ Делим обе части на ненулевой коэффициент при v: $$v=\frac{9}{\frac{3}{10}}=30$$ Шаг 4. Находим обе массы и массу всего третьего сплава: $$m_1=30=30$$ $$m_2=30+90=120$$ $$m_{\text{смесь}}=30+120=150$$ Проверяем массу меди до и после смешивания: $$0{,}6\cdot30+0{,}1\cdot120=30$$ $$0{,}2\cdot150=30$$ Обе массы меди равны, все массы положительны. Спрашивается общая масса смеси. Ответ: $150$ кг.

Шаг 1. Связываем место встречи с путями автомобилей. Первый автомобиль ехал из A и до встречи прошёл 260 км. Весь путь между городами равен 500 км. Поэтому второму автомобилю от B до встречи осталось пройти: $$S_2=500-260=240\text{ км}$$ Шаг 2. Находим время движения второго автомобиля. Его скорость известна — 80 км/ч. Время равно пути, делённому на скорость: $$t_2=\frac{S_2}{v_2}=\frac{240}{80}=3\text{ ч}$$ Шаг 3. Определяем время первого автомобиля. Он выехал на час раньше и остановился у места встречи одновременно со вторым. Поэтому ехал на один час дольше: $$t_1=t_2+1=3+1=4\text{ ч}$$ Шаг 4. Находим неизвестную скорость первого автомобиля. Делим его путь на его собственное время: $$v_1=\frac{S_1}{t_1}=\frac{260}{4}=65\text{ км/ч}$$ Шаг 5. Проверяем место встречи и разницу времён: $$65\cdot4=260$$ $$80\cdot3=240$$ $$260+240=500$$ $$4-3=1$$ Пути сложились в полное расстояние между городами, а первый действительно ехал на час дольше. Ответ: $65$ км/ч.

Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем. Обозначим меньшую скорость через v. Тогда большая равна v+6. Обе величины положительны, поэтому v>0. Нужно найти меньшую скорость. Сначала определим v; это и будет искомая величина. На один и тот же путь требуется тем меньше времени, чем больше скорость. Время находится делением пути на скорость: $$t=\frac{S}{v}$$ Для меньшей величины время равно: $$t_{\text{медл}}=\frac{108}{v}$$ Для большей величины время равно: $$t_{\text{быстр}}=\frac{108}{v+6}$$ Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение. На обратном пути скорость больше, но есть остановка. Общая длительность туда и обратно одинакова. Поэтому само движение обратно должно быть короче ровно на длительность остановки. $$\frac{108}v-\frac{108}{v+6}=3$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение v(v+6). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+6, во второй — на v: $$\frac{108(v+6)-108v}{v(v+6)}=3$$ Раскрываем скобки в числителе: $$108(v+6)-108v=108v+108\cdot6-108v$$ Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение: $$108\cdot6=648$$ $$\frac{648}{v(v+6)}=3$$ Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него: $$648=3v(v+6)$$ Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 3: $$v(v+6)=v^2+6v$$ $$648=3v^2+3\cdot6v$$ $$3\cdot6=18$$ Переносим число влево и получаем квадратное уравнение: $$3 v^{2} + 18 v - 648=0$$ Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 3. $$v^{2} + 6 v - 216=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=6,\qquad C=-216$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(6)^2=36$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-216)=-864$$ $$D=B^2-4AC=36-(-864)=900$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{900}=30$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(6)+30}{2\cdot(1)}=\frac{24}{2}=12$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(6)-30}{2\cdot(1)}=\frac{-36}{2}=-18$$ Значение $v=-18$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем. Значение $v=12$ положительно, поэтому подходит. Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена. $$v_{\text{медл}}=12$$ $$v_{\text{быстр}}=12+6=18$$ $$t_{\text{медл}}=\frac{108}{12}=9$$ $$t_{\text{быстр}}=\frac{108}{18}=6$$ $$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=9-6=3$$ Разница совпала с условием. Спрашивается меньшая скорость, поэтому выбираем 12 км/ч. Ответ: $12$ км/ч.

Шаг 1. Обозначаем неизвестное и объясняем скорости. Нужно найти скорость течения. Обозначим её v, в км/ч. По течению вода помогает судну: скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения. Против течения вода мешает: скорости вычитаются. $$v_{\text{по}}=v + 9$$ $$v_{\text{против}}=9 - v$$ Обе скорости движения должны быть положительными. Поэтому неизвестное обязано удовлетворять ограничению: $$0<v<9$$ Шаг 2. Определяем время движения и составляем уравнение. Против течения судно движется медленнее и тратит больше времени. По условию это время больше времени обратного движения на 6 ч. Поэтому вычитаем меньшее время из большего: $$\frac{72}{9 - v}-\frac{72}{v + 9}=6$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение двух скоростей. Оно положительно на выбранной области: $$(v + 9)(9 - v)=9^2-9v+9v-v^2$$ Противоположные слагаемые с v уничтожаются. Квадрат известного числа равен: $$9^2=9\cdot9=81$$ $$(v + 9)(9 - v)=81 - v^{2}$$ У каждой дроби домножаем числитель на недостающий множитель, затем объединяем числители: $$\frac{72(v + 9)-72(9 - v)}{81 - v^{2}}=6$$ Раскрываем скобки в числителе. Перед второй скобкой стоит минус, поэтому меняем знаки всех её слагаемых: $$72(v + 9)-72(9 - v)=72\cdot9+72v-72\cdot9+72v$$ Вычисляем числовые произведения и складываем одинаковые слагаемые: $$72\cdot9=648$$ $$72\cdot9+72v-72\cdot9+72v=144 v$$ Умножаем обе части на положительный общий знаменатель: $$144 v=6(81 - v^{2})$$ Раскрываем скобки справа: $$144 v=6\cdot81-6v^2$$ $$6\cdot81=486$$ $$144 v=486 - 6 v^{2}$$ Переносим всё влево, чтобы получить уравнение с нулём справа: $$- 6 v^{2} - 144 v + 486=0$$ Шаг 4. Решаем квадратное уравнение. Делим каждый член на ненулевой общий множитель -6. $$v^{2} + 24 v - 81=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=24,\qquad C=-81$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(24)^2=576$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-81)=-324$$ $$D=B^2-4AC=576-(-324)=900$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{900}=30$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(24)+30}{2\cdot(1)}=\frac{6}{2}=3$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(24)-30}{2\cdot(1)}=\frac{-54}{2}=-27$$ Корень $v=-27$ нарушает ограничение на скорость, поэтому исключается. Корень $v=3$ удовлетворяет ограничению и подходит. Шаг 5. Подставляем скорость и проверяем время каждого участка. $$v_{\text{по}}=9+3=12$$ $$v_{\text{против}}=9-3=6$$ $$t_{\text{по}}=\frac{72}{12}=6$$ $$t_{\text{против}}=\frac{72}{6}=12$$ $$12-6=6$$ Все данные времени совпали. Мы нашли скорость течения, как спрашивается в условии. Ответ: $3$ км/ч.

Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем. Обозначим меньшую скорость через v. Тогда большая равна v+5. Обе величины положительны, поэтому v>0. Нужно найти большую скорость. Сначала определим v; в конце прибавим к нему разницу 5. На один и тот же путь требуется тем меньше времени, чем больше скорость. Время находится делением пути на скорость: $$t=\frac{S}{v}$$ Для меньшей величины время равно: $$t_{\text{медл}}=\frac{90}{v}$$ Для большей величины время равно: $$t_{\text{быстр}}=\frac{90}{v+5}$$ Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение. Более медленное выполнение длится дольше. Поэтому из большего времени вычитаем меньшее; разность по условию равна 3 ч. $$\frac{90}v-\frac{90}{v+5}=3$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение v(v+5). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+5, во второй — на v: $$\frac{90(v+5)-90v}{v(v+5)}=3$$ Раскрываем скобки в числителе: $$90(v+5)-90v=90v+90\cdot5-90v$$ Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение: $$90\cdot5=450$$ $$\frac{450}{v(v+5)}=3$$ Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него: $$450=3v(v+5)$$ Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 3: $$v(v+5)=v^2+5v$$ $$450=3v^2+3\cdot5v$$ $$3\cdot5=15$$ Переносим число влево и получаем квадратное уравнение: $$3 v^{2} + 15 v - 450=0$$ Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 3. $$v^{2} + 5 v - 150=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=5,\qquad C=-150$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(5)^2=25$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-150)=-600$$ $$D=B^2-4AC=25-(-600)=625$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{625}=25$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(5)+25}{2\cdot(1)}=\frac{20}{2}=10$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(5)-25}{2\cdot(1)}=\frac{-30}{2}=-15$$ Значение $v=-15$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем. Значение $v=10$ положительно, поэтому подходит. Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена. $$v_{\text{медл}}=10$$ $$v_{\text{быстр}}=10+5=15$$ $$t_{\text{медл}}=\frac{90}{10}=9$$ $$t_{\text{быстр}}=\frac{90}{15}=6$$ $$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=9-6=3$$ Разница совпала с условием. Спрашивается большая скорость, поэтому выбираем 15 км/ч. Ответ: $15$ км/ч.

Шаг 1. Переходим от времени к доле работы за единицу времени. Всю работу принимаем за 1. Если целую работу выполняют за T единиц времени, за одну такую единицу выполняют 1/T работы. Это и есть производительность. Время в условии измеряется в часах. Будем всё решение использовать эту единицу. Для известного участника №1 производительность равна: $$p_1=\frac1{40}$$ Для известного участника №2 производительность равна: $$p_2=\frac1{24}$$ Шаг 2. Находим искомую производительность. Совместная производительность — сумма производительностей участников, потому что их выполненные части складываются. Здесь нужно сложить все найденные доли. $$p=\frac1{40}+\frac1{24}$$ Приводим дроби к общему знаменателю 120. Для каждой дроби домножаем числитель и знаменатель на недостающий множитель: $$\frac1{40}=\frac{1\cdot3}{40\cdot3}=\frac{3}{120}$$ $$\frac1{24}=\frac{1\cdot5}{24\cdot5}=\frac{5}{120}$$ Теперь складываем или вычитаем числители, сохраняя общий знаменатель: $$p=\frac{3+5}{120}=\frac{8}{120}=\frac{1}{15}$$ Шаг 3. Возвращаемся от производительности ко времени. Чтобы выполнить всю единицу работы, делим её на долю работы за одну единицу времени. Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь: $$T=\frac1p=1:\frac{1}{15}=1\cdot\frac{15}{1}=15$$ Это время совместной работы всех участников. Проверка смысла: полученное время меньше времени каждого участника по отдельности. Вместе они выполняют работу быстрее. Ответ: $15$ ч.

Шаг 1. Переводим вопрос в математическое условие. Нужно найти время торможения. Величина t в формуле обозначает время. Сначала найдём моменты, когда указанная в формуле величина равна 36. В задаче единица времени уже та, которая нужна в ответе. Шаг 2. Подставляем данные в формулу. Исходная зависимость величины от времени: $$S=v_0t-\frac{at^2}{2}$$ Вместо левой части записываем требуемую величину 36, вместо начальной скорости — 15, вместо ускорения — 2. Неизвестным остаётся только время t: $$36=15t-\frac{2t^2}{2}$$ Коэффициент при t² получается делением ускорения на 2. При торможении перед этим слагаемым стоит минус. $$\frac{2}{2}=1$$ После этой операции формула имеет вид: $$- t^{2} + 15 t=36$$ Шаг 3. Решаем уравнение, не пропуская вычисление корней. Переносим правую часть влево: вычитаем 36 из обеих частей. Получаем уравнение: $$- t^{2} + 15 t - 36=0$$ Делим все члены на общий ненулевой множитель -1: $$t^{2} - 15 t + 36=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A t^2+B t+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=-15,\qquad C=36$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-15)^2=225$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(36)=144$$ $$D=B^2-4AC=225-(144)=81$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{81}=9$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-15)+9}{2\cdot(1)}=\frac{24}{2}=12$$ $$t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-15)-9}{2\cdot(1)}=\frac{6}{2}=3$$ Шаг 4. Проверяем смысл найденных чисел. Отсчёт идёт от начала процесса, поэтому время не может быть отрицательным. Кроме того, торможение длится только до остановки. При постоянном замедлении скорость равна: $$v(t)=15-2t$$ При остановке скорость становится нулевой: $$15-2t=0$$ Прибавляем 2t к обеим частям и делим на 2: $$t=15/2=7{,}5$$ Поэтому для описанного торможения разрешено только: $$0\le t\le 7{,}5$$ Число $3$ лежит в этом промежутке и подходит. Число $12$ не лежит в этом промежутке и не подходит. Шаг 5. Выполняем обратную подстановку. $$S(3)=- \left(3\right)^{2} + 15 \left(3\right)$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$3^{2}=9$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-1\right) 9=-9$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$15 \cdot 3=45$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-9 + 45=36$$ Получили 36, как требовалось в условии. Ответ: $3$ с.

Шаг 1. Обозначаем неизвестную величину и связываем её со временем. Обозначим меньшую производительность через v. Тогда большая равна v+7. Обе величины положительны, поэтому v>0. Нужно найти большую производительность. Сначала определим v; в конце прибавим к нему разницу 7. На один и тот же объём работы требуется тем меньше времени, чем больше производительность. Время находится делением объёма на производительность: $$t=\frac{V}{v}$$ Для меньшей величины время равно: $$t_{\text{медл}}=\frac{198}{v}$$ Для большей величины время равно: $$t_{\text{быстр}}=\frac{198}{v+7}$$ Шаг 2. Объясняем разницу времён и составляем уравнение. Более медленное выполнение длится дольше. Поэтому из большего времени вычитаем меньшее; разность по условию равна 7 ч. $$\frac{198}v-\frac{198}{v+7}=7$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение v(v+7). В первой дроби умножаем числитель и знаменатель на v+7, во второй — на v: $$\frac{198(v+7)-198v}{v(v+7)}=7$$ Раскрываем скобки в числителе: $$198(v+7)-198v=198v+198\cdot7-198v$$ Слагаемые с v взаимно уничтожаются; отдельно считаем оставшееся произведение: $$198\cdot7=1386$$ $$\frac{1386}{v(v+7)}=7$$ Знаменатель положителен и не равен нулю при v>0. Умножаем обе части на него: $$1386=7v(v+7)$$ Раскрываем скобки справа, умножая каждый член на v, а затем на 7: $$v(v+7)=v^2+7v$$ $$1386=7v^2+7\cdot7v$$ $$7\cdot7=49$$ Переносим число влево и получаем квадратное уравнение: $$7 v^{2} + 49 v - 1386=0$$ Шаг 4. Находим оба корня квадратного уравнения. Делим каждый член на ненулевой общий множитель 7. $$v^{2} + 7 v - 198=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=7,\qquad C=-198$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(7)^2=49$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-198)=-792$$ $$D=B^2-4AC=49-(-792)=841$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{841}=29$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(7)+29}{2\cdot(1)}=\frac{22}{2}=11$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(7)-29}{2\cdot(1)}=\frac{-36}{2}=-18$$ Значение $v=-18$ неположительно, поэтому не может быть скоростью или производительностью. Его исключаем. Значение $v=11$ положительно, поэтому подходит. Шаг 5. Возвращаемся к вопросу и проверяем времена. $$v_{\text{медл}}=11$$ $$v_{\text{быстр}}=11+7=18$$ $$t_{\text{медл}}=\frac{198}{11}=18$$ $$t_{\text{быстр}}=\frac{198}{18}=11$$ $$t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=18-11=7$$ Разница совпала с условием. Спрашивается большая производительность, поэтому выбираем 18 деталей/ч. Ответ: $18$ деталей/ч.

Шаг 1. Обозначаем неизвестное и объясняем скорости. Нужно найти собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде. Обозначим её v, в км/ч. По течению вода помогает судну: скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения. Против течения вода мешает: скорости вычитаются. $$v_{\text{по}}=v + 4$$ $$v_{\text{против}}=v - 4$$ Обе скорости движения должны быть положительными. Поэтому неизвестное обязано удовлетворять ограничению: $$v>4$$ Шаг 2. Определяем время движения и составляем уравнение. Из общего времени вычитаем стоянку. Во время стоянки судно не проходит путь: $$10-5=5$$ Время каждого участка равно пути, делённому на скорость. Весь путь туда и обратно включает два участка одинаковой длины: $$t_{\text{по}}=\frac{48}{v + 4}$$ $$t_{\text{против}}=\frac{48}{v - 4}$$ Их времена складываются: $$\frac{48}{v + 4}+\frac{48}{v - 4}=5$$ Шаг 3. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение двух скоростей. Оно положительно на выбранной области: $$(v + 4)(v - 4)=v^2-v\cdot4+4v-4^2$$ Противоположные слагаемые с v уничтожаются. Квадрат известного числа равен: $$4^2=4\cdot4=16$$ $$(v + 4)(v - 4)=v^{2} - 16$$ У каждой дроби домножаем числитель на недостающий множитель, затем объединяем числители: $$\frac{48(v - 4)+48(v + 4)}{v^{2} - 16}=5$$ Раскрываем скобки в числителе. В сумме времён слагаемые с противоположными знаками уничтожаются: $$48(v - 4)+48(v + 4)=48v-48\cdot4+48v+48\cdot4$$ Вычисляем числовые произведения и складываем одинаковые слагаемые: $$48\cdot4=192$$ $$48v-48\cdot4+48v+48\cdot4=96 v$$ Умножаем обе части на положительный общий знаменатель: $$96 v=5(v^{2} - 16)$$ Раскрываем скобки справа: $$96 v=5v^2-5\cdot16$$ $$5\cdot16=80$$ $$96 v=5 v^{2} - 80$$ Переносим всё влево, чтобы получить уравнение с нулём справа: $$5 v^{2} - 96 v - 80=0$$ Шаг 4. Решаем квадратное уравнение. Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A v^2+B v+C=0$. Здесь: $$A=5,\qquad B=-96,\qquad C=-80$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-96)^2=9216$$ $$4AC=4\cdot(5)\cdot(-80)=-1600$$ $$D=B^2-4AC=9216-(-1600)=10816$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{10816}=104$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$v_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-96)+104}{2\cdot(5)}=\frac{200}{10}=20$$ $$v_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-96)-104}{2\cdot(5)}=\frac{-8}{10}=- \frac{4}{5}$$ Корень $v=- \frac{4}{5}$ нарушает ограничение на скорость, поэтому исключается. Корень $v=20$ удовлетворяет ограничению и подходит. Шаг 5. Подставляем скорость и проверяем время каждого участка. $$v_{\text{по}}=20+4=24$$ $$v_{\text{против}}=20-4=16$$ $$t_{\text{по}}=\frac{48}{24}=2$$ $$t_{\text{против}}=\frac{48}{16}=3$$ $$2+3=5$$ Возвращаем время стоянки: $$5+5=10$$ Все данные времени совпали. Мы нашли собственную скорость судна, то есть его скорость в неподвижной воде, как спрашивается в условии. Ответ: $20$ км/ч.