Один мастер может выполнить заказ за 40 часов, а другой — за 24 часа. За сколько часов выполнят этот заказ оба мастера, работая вместе?
Ответ: $15$.
Решение
Шаг 1. Переходим от времени к доле работы за единицу времени.
Всю работу принимаем за 1. Если целую работу выполняют за T единиц времени, за одну такую единицу выполняют 1/T работы. Это и есть производительность.
Время в условии измеряется в часах. Будем всё решение использовать эту единицу.
Для известного участника №1 производительность равна:
$$p_1=\frac1{40}$$
Для известного участника №2 производительность равна:
$$p_2=\frac1{24}$$
Шаг 2. Находим искомую производительность.
Совместная производительность — сумма производительностей участников, потому что их выполненные части складываются. Здесь нужно сложить все найденные доли.
$$p=\frac1{40}+\frac1{24}$$
Приводим дроби к общему знаменателю 120. Для каждой дроби домножаем числитель и знаменатель на недостающий множитель:
$$\frac1{40}=\frac{1\cdot3}{40\cdot3}=\frac{3}{120}$$
$$\frac1{24}=\frac{1\cdot5}{24\cdot5}=\frac{5}{120}$$
Теперь складываем или вычитаем числители, сохраняя общий знаменатель:
$$p=\frac{3+5}{120}=\frac{8}{120}=\frac{1}{15}$$
Шаг 3. Возвращаемся от производительности ко времени. Чтобы выполнить всю единицу работы, делим её на долю работы за одну единицу времени. Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь:
$$T=\frac1p=1:\frac{1}{15}=1\cdot\frac{15}{1}=15$$
Это время совместной работы всех участников.
Проверка смысла: полученное время меньше времени каждого участника по отдельности. Вместе они выполняют работу быстрее.
Ответ: $15$ ч.