Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в К) от времени работы:
$T(t)={T}_{0} +b t+a {t}^{2},$
где $t$ $—$ время (в мин.), ${T}_{0} =1600 \text{К}$, $a=- 5 \text{К} / {\text{мин}}^{2},$ $b=105 \text{К} / \text{мин}$. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1870 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.
Ответ: $3$.
Решение
Шаг 1. Переводим вопрос в математическое условие.
Нужно найти последний безопасный момент отключения прибора. Величина t в формуле обозначает время. Сначала найдём моменты, когда указанная в формуле величина равна 1870.
В задаче единица времени уже та, которая нужна в ответе.
Шаг 2. Подставляем данные в формулу.
Исходная зависимость величины от времени:
$$T(t)=T_0+bt+at^2$$
Числовые коэффициенты уже заданы в условии. Подставляем требуемую высоту или температуру вместо значения функции:
$$1870=1600+(105)t+(-5)t^2$$
Шаг 3. Решаем уравнение, не пропуская вычисление корней.
Переносим правую часть влево: вычитаем 1870 из обеих частей. Получаем уравнение:
$$- 5 t^{2} + 105 t - 270=0$$
Делим все члены на общий ненулевой множитель -5:
$$t^{2} - 21 t + 54=0$$
Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A t^2+B t+C=0$. Здесь:
$$A=1,\qquad B=-21,\qquad C=54$$
Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно:
$$B^2=(-21)^2=441$$
$$4AC=4\cdot(1)\cdot(54)=216$$
$$D=B^2-4AC=441-(216)=225$$
Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен:
$$\sqrt D=\sqrt{225}=15$$
Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления:
$$t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-21)+15}{2\cdot(1)}=\frac{36}{2}=18$$
$$t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-21)-15}{2\cdot(1)}=\frac{6}{2}=3$$
Шаг 4. Проверяем смысл найденных чисел.
Отсчёт идёт от начала процесса, поэтому время не может быть отрицательным.
Опасность возникает строго выше указанной температуры. Между двумя найденными моментами температура выше границы: парабола температуры направлена вниз. При непрерывной работе нельзя ждать второго момента, потому что до него прибор уже прошёл бы опасный участок.
Поэтому нужно выбрать первый момент достижения границы:
$$t=3$$
В этот момент температура ещё равна допустимому пределу, поэтому равенство разрешено.
Шаг 5. Выполняем обратную подстановку.
$$T(3)=- 5 \left(3\right)^{2} + 105 \left(3\right) + 1600$$
Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей.
$$3^{2}=9$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$\left(-5\right) 9=-45$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$105 \cdot 3=315$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$-45 + 315 + 1600=1870$$
Получили 1870, как требовалось в условии.
Ответ: $3$ мин.