Катя и Настя, работая вместе, пропалывают грядку за 24 минуты, а одна Настя $—$ за 42 минуты. За сколько минут пропалывает грядку одна Катя?
Ответ: $56$.
Решение
Шаг 1. Переходим от времени к доле работы за единицу времени.
Всю работу принимаем за 1. Если целую работу выполняют за T единиц времени, за одну такую единицу выполняют 1/T работы. Это и есть производительность.
Время в условии измеряется в минутах. Будем всё решение использовать эту единицу.
Для совместной работы производительность равна:
$$p_1=\frac1{24}$$
Для известного участника №2 производительность равна:
$$p_2=\frac1{42}$$
Шаг 2. Находим искомую производительность.
Совместная производительность — сумма производительностей участников, потому что их выполненные части складываются. Здесь общая производительность уже известна. Поэтому из неё вычитаем производительность известного участника, чтобы получить производительность второго.
$$p=\frac1{24}-\frac1{42}$$
Приводим дроби к общему знаменателю 168. Для каждой дроби домножаем числитель и знаменатель на недостающий множитель:
$$\frac1{24}=\frac{1\cdot7}{24\cdot7}=\frac{7}{168}$$
$$\frac1{42}=\frac{1\cdot4}{42\cdot4}=\frac{4}{168}$$
Теперь складываем или вычитаем числители, сохраняя общий знаменатель:
$$p=\frac{7-4}{168}=\frac{3}{168}=\frac{1}{56}$$
Шаг 3. Возвращаемся от производительности ко времени. Чтобы выполнить всю единицу работы, делим её на долю работы за одну единицу времени. Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь:
$$T=\frac1p=1:\frac{1}{56}=1\cdot\frac{56}{1}=56$$
Это время работы только искомого участника.
Проверка: производительности двух участников снова дают известную общую производительность:
$$\frac{1}{56}+\frac{1}{42}=\frac{1}{24}$$
Ответ: $56$ мин.