Один мастер может выполнить заказ за 36 часов, а другой — за 12 часов. За сколько часов выполнят этот заказ оба мастера, работая вместе?
Ответ: $9$.
Решение
Шаг 1. Переходим от времени к доле работы за единицу времени.
Всю работу принимаем за 1. Если целую работу выполняют за T единиц времени, за одну такую единицу выполняют 1/T работы. Это и есть производительность.
Время в условии измеряется в часах. Будем всё решение использовать эту единицу.
Для известного участника №1 производительность равна:
$$p_1=\frac1{36}$$
Для известного участника №2 производительность равна:
$$p_2=\frac1{12}$$
Шаг 2. Находим искомую производительность.
Совместная производительность — сумма производительностей участников, потому что их выполненные части складываются. Здесь нужно сложить все найденные доли.
$$p=\frac1{36}+\frac1{12}$$
Приводим дроби к общему знаменателю 36. Для каждой дроби домножаем числитель и знаменатель на недостающий множитель:
$$\frac1{36}=\frac{1\cdot1}{36\cdot1}=\frac{1}{36}$$
$$\frac1{12}=\frac{1\cdot3}{12\cdot3}=\frac{3}{36}$$
Теперь складываем или вычитаем числители, сохраняя общий знаменатель:
$$p=\frac{1+3}{36}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$$
Шаг 3. Возвращаемся от производительности ко времени. Чтобы выполнить всю единицу работы, делим её на долю работы за одну единицу времени. Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь:
$$T=\frac1p=1:\frac{1}{9}=1\cdot\frac{9}{1}=9$$
Это время совместной работы всех участников.
Проверка смысла: полученное время меньше времени каждого участника по отдельности. Вместе они выполняют работу быстрее.
Ответ: $9$ ч.